第3章 排列、组合与二项式定理 章末回顾与提升（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

一、计数原理的应用 运用两个计数原理解决问题时应注意的问题 1．对于一些比较复杂的既要运用分类加法计数原理又要运用分步乘法计数原理的问题，我们可以恰当地画出示意图或列出表格，使问题更加直观、清晰． 2．当两个原理混合使用时，一般是先分类，在每类方法里再分步． 王华同学有课外参考书若干本，其中有5本不同的外语书，4本不同的数学书，3本不同的物理书，他欲带参考书到图书馆阅读． (1)若他从这些参考书中带1本去图书馆，有多少种不同的带法？ (2)若他带外语、数学、物理参考书各1本，有多少种不同的带法？ (3)若他从这些参考书中选2本不同学科的参考书带到图书馆，有多少种不同的带法？ 解：(1)完成的事情是带1本书，无论带外语书、数学书还是物理书，事情都已完成，从而应用分类加法计数原理，结果为5＋4＋3＝12种． (2)完成的事情是带3本不同学科的参考书，只有从外语、数学、物理书中各选1本后，才能完成这件事，因此应用分步乘法计数原理，结果为5×4×3＝60种． (3)选1本外语书和选1本数学书，用分步乘法计数原理，有5×4＝20种选法； 同样，选外语书、物理书各1本，有5×3＝15种选法； 选数学书、物理书各1本，有4×3＝12种选法． 由于有三类情况，故应用分类加法计数原理，结果为20＋15＋12＝47种． [训练1] 一件工作可以用2种方法完成，有5人只会用第1种方法完成，另有4人只会用第2种方法完成，从中选出1人来完成这件工作，则不同的选法种数是(　　) A．9 B．10 C．20 D．40 A　解析：利用第一种方法有C＝5种，利用第二种方法有C＝4种．故共有5＋4＝9种方法完成工作．故选A． [训练2] 在一个正六边形的六个区域涂色(如图)，要求同一区域同一种颜色，相邻的两块区域(有公共边)涂不同的颜色，现有5种不同的颜色可供选择，则不同涂色方案有(　　) A．720种 B．2 160种 C．4 100种 D．4 400种 C　解析：考虑A，C，E三个区域用同一种颜色，共有方法数为5×43＝320种； 考虑A，C，E三个区域用2种颜色，共有方法数为(5×4×3)×4×3×3＝2 160种； 考虑A，C，E三个区域用3种颜色，共有方法数为A×33＝1 620种． 所以共有方法数为320＋2 160＋1 620＝4 100种．故选C． 二、排列与组合 排列、组合应用题的解题策略 1．在解决具体问题时，首先必须弄清楚是“分类”还是“分步”，接着还要搞清楚“分类”或者“分步”的具体标准是什么． 2．区分某一问题是排列问题还是组合问题，关键看选出的元素与顺序是否有关．若交换某两个元素的位置对结果产生影响，则是排列问题；若交换任意两个元素的位置对结果都没有影响，则是组合问题．也就是说排列问题与选取元素的顺序有关，组合问题与选取元素的顺序无关． 将4名学生分别安排到甲、乙，丙三地参加社会实践活动，每个地方至少安排一名学生参加，则不同的安排方案共有(　　) A．36种 B．24种 C．18种 D．12种 A　解析：先将4名学生分成3组，每组至少1人，有C种不同的分组方法，再把这3组人安排到甲、乙、丙三地，共A种不同的方法，根据分步乘法计数原理，不同的安排方案共有C×A＝36种． [训练3] 过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，其中异面直线有(　　) A．18对 B．24对 C．30对 D．36对 D　解析：三棱柱共6个顶点，由此6个顶点可组成C－3＝12个不同四面体，而每个四面体有三对异面直线，共有12×3＝36对． [训练4] 如图，用6种不同的颜色把图中A，B，C，D 4块区域分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则涂色方法共有________种．(用数字作答) 480　解析：从A开始涂色，A有6种涂色方法，B有5种涂色方法，C有4种涂色方法，D有4种涂色方法．由分步乘法计数原理可知，共有6×5×4×4＝480种涂色方法． 三、二项式定理的应用 二项式定理的问题类型及解答策略 1．确定二项式中的有关元素：一般是根据已知条件，列出等式，从而可求出二项式中的有关元素． 2．确定二项展开式中的常数项：先写出其通项公式，令未知数的指数为零，从而确定项数，然后代入通项公式，即可确定常数项． 3．求二项展开式中条件项的系数：先写出其通项公式，再由条件确定项数，然后代入通项公式求出此项的系数． 4．求二项展开式中各项系数的和或差：赋值代入． 5．确定二项展开式中的系数最大或最小项：利用二项式系数的性质求解． 已知f(x)＝(1＋x)m＋(1＋2x)n(m，n∈N*)的展开式中x的系数为11. (1)求x2的系数取得最小值时n的值； (2)当x2的系数取得最小值时，求f(x)的展开式中x的奇次项的系数之和．