4.1.3 独立性与条件概率的关系（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4．1.3　独立性与条件概率的关系 课程标准 核心素养目标 结合古典概型，了解条件概率与独立性的关系． 1．理解两个事件为相互独立事件的概念，能判断两个事件是否为独立事件．(数学抽象) 2．了解独立性与条件概率的关系．(数学抽象) 3．掌握相互独立事件同时发生的概率的计算公式并能应用公式计算相关的概率问题．(数学运算) 事件的独立性 (1)事件A与B相互独立的充要条件是P(AB)＝P(A)P(B)． (2)当P(B)＞0时，A与B独立的充要条件是P(A|B)＝P(A). 两个事件相互独立与互斥的区别 两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概 率没有影响．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提． [微练1]判断正误 (1)对于事件A，B，若P(B|A)＝P(A)，则事件A与B相互独立．(　　) (2)事件A，B相互独立，则事件A与也相互独立．(　　) (3)若P(AB)＝P(A)P(B)，则事件A与事件B相互独立．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√ [微练2]袋中有黑、白两种颜色的球，从中进行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得白球，A2表示第二次摸得白球，则A1与A2是(　　) A．相互独立事件 B．互斥事件 C．对立事件 D．不相互独立事件 A　解析：A1的发生与否对A2不产生影响，故选A． [微练3]已知A与B独立，且P()＝0.7，则P(A|B)＝________． 0.3　解析：∵P()＝0.7，∴P(A)＝1－0.7＝0.3，又A与B独立，所以P(A|B)＝P(A)＝0.3. 知识点一　相互独立事件的判断 判断下列各对事件是否是相互独立事件． (1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”； (2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； (3)掷一颗骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 解：(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件． (2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为；若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为，可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以二者不是相互独立事件． (3)记A：出现偶数点，B：出现3点或6点，则A＝{2，4，6}，B＝{3，6}，AB＝{6}， 所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，P(AB)＝P(A)P(B)， 所以事件A与B相互独立． 判断事件是否相互独立的方法 (1)定义法：事件A，B相互独立⇔P(A∩B)＝P(A)·P(B). (2)由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响． (3)条件概率法：当P(A)>0时，可用P(B|A)＝P(B)判断． (1)下列事件中，A，B是相互独立事件的是(　　) A．一枚硬币掷两次，A＝“第一次为正面”，B＝“第二次为反面” B．袋中有2白，2黑的小球，不放回地摸两球，A＝“第一次摸到白球”，B＝“第二次摸到白球” C．掷一枚骰子，A＝“出现点数为奇数”，B＝“出现点数为偶数” D．A＝“人能活到20岁”，B＝“人能活到50岁” A　解析：把一枚硬币掷两次，对于每次而言是相互独立的，其结果不受先后影响，故A项是相互独立事件；B中是不放回地摸球，显然A事件与B事件不相互独立；对于C，A，B应为互斥事件，不相互独立；D是条件概率，事件B受事件A的影响．故选A． (2)甲、乙两名射手同时向一目标射击，设事件A：“甲击中目标”，事件B：“乙击中目标”，则事件A与事件B(　　) A．相互独立但不互斥 B．互斥但不相互独立 C．相互独立且互斥 D．既不相互独立也不互斥 A　解析：对同一目标射击，甲、乙两射手是否击中目标是互不影响的，所以事件A与事件B相互独立；对同一目标射击，甲、乙两射手可能同时击中目标，也就是说事件A与B可能同时发生，所以事件A与B不是互斥事件．故选A． 知识点二　相互独立事件同时发生的概率 甲、乙两人组成“星队”参加猜成语活动，每轮活动由甲、乙各猜一个成语，在一轮活动中，如果两人都猜对，则“星队”得3分；如果只有一个人猜对，则“星队”得1分；如果两人都没猜对，则“星队”得0分．已知甲每轮猜对的概率是，乙每轮猜对的概率是；每轮活动中甲、乙猜对与否互不影响．各轮结果亦互不