4.1.1 条件概率（Word教参）-【优化指导】2023-2024学年新教材高中数学选择性必修第二册（人教B版2019）

4．1　条件概率与事件的独立性 4．1.1　条件概率 课程标准 核心素养目标 1．结合古典概型，了解条件概率． 2．能计算简单随机事件的条件概率． 1．通过条件概率的形成过程，体会由特殊到一般的思维方法．(数学抽象) 2．能利用条件概率公式求简单的条件概率．(数学运算、数学建模) 1．条件概率 一般地，当事件B发生的概率大于0时(即P(B)>0)，已知事件B发生的条件下事件A发生的概率，称为条件概率，记作P(A|B)，而且P(A|B)＝. 对条件概率中“条件”的两点说明 (1)一般地，每一个随机试验都是在一定条件下进行的，这里所说的条件概率是当试验结果的一部分信息已知(即在原随机试验的条件上，再加上“某事件发生”的附加条件)，求另一事件在此条件下发生的概率． (2)通常情况下，事件A在“事件B已发生”这个附加条件下的概率与没有这个附加条件的概率是不同的． [微练1]判断正误 (1)若事件A，B互斥，则P(B|A)＝1.(　　) (2)在事件A发生的条件下，事件B发生，相当于A，B同时发生．(　　) (3)P(B|A)≠P(A∩B).(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ [微练2]设A，B为两个事件，且P(A)>0，若P(A∩B)＝，P(A)＝，则P(B|A)＝(　　) A． B． C． D． A　解析：由P(B|A)＝＝＝，故选A． [微练3]设某动物由出生算起活到20岁的概率为0.8，活到25岁的概率为0.4，现有一个20岁的这种动物，则它活到25岁的概率是________． 0.5　解析：根据条件概率公式知P＝＝0.5. 2．条件概率的性质 (1)0≤P(A|B)≤1； (2)如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)，即条件概率也有加法公式． [微练4]有一批种子的发芽率为0.9，出芽后的幼苗成活率为0.8，在这批种子中，随机抽取一粒，则这粒种子能成长为幼苗的概率为(　　) A．0.72 B．0.8 C．0.9 D．0.5 A　解析：求在种子发芽的条件下，成长为幼苗的概率，为条件概率问题．设“种子发芽”为事件A，“种子成长为幼苗(发芽，又成活为幼苗)”为事件A∩B，则发芽后的幼苗成活率为P(B|A)＝0.8，P(A)＝0.9.根据条件概率公式得P(A∩B)＝P(B|A)·P(A)＝0.9×0.8＝0.72，即这粒种子能成长为幼苗的概率为0.72. 知识点一　利用定义法计算条件概率 一个袋中有2个黑球和3个白球，如果不放回地抽取两个球，记“第一次抽到黑球”为事件A；“第二次抽到黑球”为事件B. (1)分别求事件A，B，A∩B发生的概率； (2)求P(B|A). 解：由古典概型的概率公式可知 (1)P(A)＝，P(B)＝＝＝， P(A∩B)＝＝. (2)P(B|A)＝＝＝. 1．用定义法求条件概率P(B|A)的步骤 (1)分析题意，弄清概率模型； (2)计算P(A)，P(A∩B)； (3)代入公式求P(B|A)＝. 2．在第(2)题中，首先结合古典概型分别求出事件A，A∩B的概率，从而求出P(B|A)，揭示出P(A)，P(A∩B)和P(B|A)三者之间的关系． 某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.75，连续两天为优良的概率是0.6，已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是(　　) A．0.8 B．0.75 C．0.6 D．0.45 A　解析：根据条件概率公式P(B|A)＝，可得所求概率为＝0.8. 知识点二　缩小样本点范围求条件概率 集合A＝{1，2，3，4，5，6}，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率． 解：将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个，在这15个中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝＝. [探究]　本例条件不变，求乙抽到偶数的概率． 解：在甲抽到奇数的情形中，乙抽到偶数的有(1，2)，(1，4)，(1，6)，(3，2)，(3，4)，(3，6)，(5，2)，(5，4)，(5，6)，共9个，所以所求概率P＝＝. 利用缩小基本事件范围计算条件概率的方法 将原来的基本事件全体Ω缩小为已知的条件事件A，原来的事件B缩小为AB.而A中仅包含有限个基本事件，每个基本事件发生的概率相