专题03 利用基本不等式求解最值问题（培优特训）-2024年高考数学总复习微重点专项突破（新高考通用）

微专题03 利用基本不等式求解最值问题 基本不等式在高考中的重要性：   均值不等式是不等式中的重要内容,也是每年高考重点考查的知识点之一.它的应用范围几乎涉及高中数学的所有章节,且常考常新.尤其是周它作为一种重要手段来求函数最值时,越来越受到广大中学师生的重视,但要真正熟练掌握这种方法和技巧,决不是一朝一夕所能解决的.事实上,许多学生在作这类题目时,往往会出错而"不知其所以然".究其原因,主要是在运用均值不等式时,常常忽视了"一正、二定、三相等"的条件,特别是"等号成立的条件". 随着这几年教材改革，高考改革，均值不等式的考向也发生着一定变化，以前均值不等式主要是结合其他内容比如解三角形、圆锥曲线大题，用来最后求结果的，但是这两年开始均值不等式单独出题了，所以我想着出这么一个专项，归纳总结所有均值不等式相关考点。 均值不等式必会公式： 1.均值定理： 如果，那么，当且仅当时，等号成立 【注意】用基本不等式求最值时（积定和最小，和定积最大），要注意满足三个条件“一正、二定、三相等”. 2.均值不等式的常见变形： （1） （2） （3） （4） 3.不等式串： ,（当且仅当时取号）. （即调和平均几何平均算术平均平方平均）. 一.基本公式的套用 考点1.和定积最大，积定和最小 1．设x＞0，y＞0，且x+y＝18，则xy的最大值为（　　） A．80 B．77 C．81 D．82 2．已知x＞0，则y＝x1的最小值是（　　） A．2 B．3 C．4 D．6 3．已知0＜x＜2，则y＝x的最大值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 4．（2015•湖南）若实数a，b满足，则ab的最小值为（　　） A． B．2 C．2 D．4 考点2.熟练运用基本不等式的变型 5. 已知a，b∈R，且ab＞0，则下列结论恒成立的是（　　） A． B．a2+b2＞2ab C． D． 6．（2020年新高考全国卷Ⅰ数学高考试题（山东））已知a>0，b>0，且a+b=1，则（    ） A． B．C． D． 考点3.凑定值 1．已知x＞2，则x的最小值为（　　） A．6 B．4 C．3 D．2 2．已知x，求函数y＝4x﹣1的最大值． 3．（2021•上海）已知函数f（x）＝3x（a＞0）的最小值为5，则a＝　9　． 4．已知实数，满足，则的最小值为 . 考点4.分离型 5．设，则函数的最小值为（    ） A．0 B． C．-1 D． 6. 若实数x，y满足，且，则的最小值是_________. 二.代换问题 考点1. 1的代换 1．若m＞0，n＞0，m+n＝3，则的最小值为（　　） A．2 B．6 C．9 D．3 2. 已知正实数x，y满足，则的最小值为（ ） A．6 B．12 C．18 D．36 3．设，若，则的最小值是___________. 考点2. 代换分子 4. 设，，且，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 5.（2013•天津）设a+b＝2，b＞0，则当a＝　﹣2　时，取得最小值． 6．（2020年天津市高考数学试卷）已知，且，则的最小值为_________． 考点3. 代换变量 7．设x＞0，y＞0，x+y﹣x2y2＝4，则的最小值等于（　　） A．2 B．4 C． D． 考点4. 换元后代换 8．若正数a，b满足2a+b＝1，则的最小值是　　． 三.x、y、xy型 考点1.求谁留谁 1．已知实数满足，则（    ） A． B． C． D． 2．已知正数x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 考点2.三角换元 3．（2022年全国新高考II卷数学试题）若x，y满足，则（    ） A． B． C． D． 考点3.因式分解 4．已知为正实数，且，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 考点4.判别式法 5．已知x，，且，则的最大值为 ． 四.多次用均值不等式 1．已知，则的最小值为 . 2．（2021年天津高考数学试题）若，则的最小值为____________． 3．若，则的最小值为 . 4．若x，y，z均为正实数，则的最大值是 ． 五.消元法 1．（2020年江苏省高考数学试卷）已知，则的最小值是_______． 2．已知正实数a，b满足ab﹣b+1＝0，则的最小值是　 　，此时b＝　． 3．（山西省三重教育2023届高三下学期3月联考数学试题）已知，则的最大值为（    ） 4．已知正实数、满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．已知，则的最小值为（    ） A．4 B．6 C． D． 六.a、b、c三个变量的形式 1．若a，b，c均为正数，且满足，则的最小值是