19.4 线段的垂直平分线（讲+练，4题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

19.4 线段的垂直平分线 教学目标： 1.识记并理解线段垂直平分线的性质定理及其逆定理。 2.掌握垂线的尺规作图方法并理解作法的依据及合理性。 3.通过对定理的探究，培养学生自主学习勇于思考和探究的品质，让学生充分体会到探究的乐趣。 重点：线段的垂直平分线定理和逆定理的证明和运用。 难点：线段的垂直平分线定理和逆定理的证明和运用，线段的垂直平分线的画法。 知识点一 线段垂直平分线的性质定理 1.线段垂直平分线的定义 经过线段的中点，并且垂直于这条线段的直线叫做这条线段的垂直平分线 2.性质定理 线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等 3.符号语言 4.应用 证明线段相等 注意： (1) 联结线段垂直平分线上的点和线段两个端点,构造等腰三角形是常用的解题方法 (2) 由于线段垂直平分线上的点可能在线段上也可能在线段外,故证明定理时必须对点 P的位置分情况讨论 即学即练1（2022秋·上海静安·八年级上海市市北初级中学校考期中）如图，在四边形中，为的中点，连接，延长交的延长线于点．若，则 ．    即学即练2（2020秋·上海普陀·八年级统考期中）已知如图，在中，，，的垂直平分线分别交、于点、，垂足为点，那么的周长为 ．    知识点二 线段垂直平分线的性质定理的逆定理 1.逆定理 和一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上 2.符号语言 3.应用 确定点在线段的垂直平分线上 注意： (1)组成线段的垂直平分线的所有点和线段两端点的距离都相等;(2)和线段两端点距离相等的所有点组成该线段的垂直平分线 即学即练1（2021秋·上海普陀·八年级校联考期末）下列命题的逆命题错误的是（      ） A．线段垂直平分线上的任意一点到这条线段两个端点的距离相等； B．全等三角形的三条边对应相等； C．如果两个角都是直角，那么这两个角相等； D．等边三角形每个内角都等于60°． 即学即练2（2022秋·上海·八年级上海市民办上宝中学校考期中）在中，，的垂直平分线与所在的直线相交所得到锐角为，则等于 ． 知识点三 三角形三边垂直平分线的性质 三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等 注意： ①锐角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形内部;②直角三角形三边的垂直平分线的交点恰好是斜边的中点;③钝角三角形三边的垂直平分线的交点在三角形外部. 即学即练1（2021秋·上海·八年级专题练习）到三角形的三个顶点距离相等的点是（    ） A．三角形三条中线的交点 B．三角形三条高的交点 C．三角形三边垂直平分线的交点 D．三角形三条角平分线的交点 即学即练2（2022秋·上海·八年级阶段练习）到三角形各顶点距离相等的点是三角形 的交点. 题型1 线段垂直平分线的性质 例1（2022秋·上海青浦·八年级校考期末）如图，已知中，，，垂直平分，点D为垂足，交于点 E．那么的周长为 ． 举一反三1（2022秋·上海·八年级上海市民办立达中学校考阶段练习）如图，在中，的垂直平分线与边，交于点，，已知与的周长分别是和，则的长为 ． 举一反三2（2023春·上海嘉定·八年级校考开学考试）如图，已知，，垂足分别为点A和点，，    (1)试判断与的位置关系，并证明你的结论； (2)如果点是的中点，连接，，试判断的形状，并证明你的结论． 题型2 线段垂直平分线的判定 例2（2022秋·上海宝山·八年级统考期末）下列说法错误的是（    ） A．，是线段的垂直平分线上的两点，则， B．若，，则直线是线段的垂直平分线 C．若，则点在线段的垂直平分线上 D．若，则过点的直线是线段的垂直平分线 举一反三1（2020秋·上海奉贤·八年级校考期末）在中，，D为中点，于E，交的延长线于F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分． 举一反三2（2022秋·上海·八年级专题练习）已知：如图，中，分别是上的中线，相交于点，联结．求证： （1）； （2）垂直平分． 题型3 线段垂直平分线的实际应用 例3（2020·八年级校考课时练习）如图，中边AB的垂直平分线分别交BC、AB于点D、E，AE=3cm，的周长为9cm，则的周长是（    ）    A．12cm B．15cm C．21cm D．18cm 举一反三1（2020秋·上海金山·八年级统考期末）已知：△ABC中,AB=AC,∠BAC=120∘， （1）利用直尺、圆规,求作AB的垂直平分线DE,交BC于点D、交AB于点E:(不要求写出作法,但要求保留作图痕迹) （2）若BD=3，求BC的长. 举一反三2（2019秋·上海·八年级校考期中）如图，A、B两村在一条