专题5.5 一次函数的几何综合（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题5.5 一次函数的几何综合 【典例1】如图1 ， 在平面直角坐标系中， 一次函数与轴交于点， 与轴交于点， 点为线段的中点， 过点作轴， 垂足为． （1）求两点的坐标； （2）若点为轴负半轴上一点， 连接交轴于点， 且， 在直线上有一点， 使得最小， 求点坐标； （3）如图2， 直线上是否存在点 使得，若存在， 请求出点的坐标， 若不存在， 请说明理由． 【思路点拨】 （1）已知一次函数与轴交于点， 与轴交于点，利用点在坐标轴上的特点，代数求值即可； （2）已知点为线段的中点，轴，可求出，且，得到，进而，要求最小，则根据最短路径原理，作对称点连线求值即可； （3）直线上存在点使得，分两种情况，点分别在轴的上方和下方，画图找点证明即可． 【解题过程】 （1）解：一次函数与轴交于点，即时，，点， 与轴交于点，即时，，点 （2）解：点为线段的中点, 由（1）得、，所以根据中点坐标为，即， ，轴， ， ， ， 作点关于直线的对称点，坐标为，连接，与直线交于点，根据最短路径原理，此时最小， 设直线为一次函数，将 、代入得： ，解得， ， 当时，， 即点坐标为； （3）解：如图1 当点在轴上方时，，过点作,交于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形， , , , , , , 设直线为一次函数，将、代入得： ，解得， 当时，， 即点坐标为； 如图2，当点在轴下方时，， 过点作,交于点，过点作轴于点，则为等腰直角三角形，同理可得, , 设直线为一次函数，将、代入得： ，解得， 当时，， 即点坐标为； 所以坐标或 1．（2022春·广东深圳·八年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． （1）求点、点的坐标及的面积； （2）线段上存在一动点从点出发沿以每秒2个单位的速度向运动，设点运动时间为秒，连接，当为何值时平分； （3）在（2）的前提下，过点作于点，试问轴上是否存在一动点，使得为等腰三角形，若存在请直接写出坐标，若不存在，请说明理由． 2．（2023秋·上海普陀·八年级校考期中）如图，已知直线上有一点A，直线绕着原点O旋转得直线，过点A作，交直线于点B．    （1）当，且点A的横坐标是4，点B在第一象限内时，求点B的坐标和直线的解析式． （2）当点A的横坐标是时，求旋转后直线的解析式．（用含字母k的式子表示）． 3．（2023秋·广东深圳·八年级深圳市大鹏新区华侨中学校联考期中）如图，一次函数的图象与轴交于点，与轴交于点，且． （1）点的坐标为___________；点的表达式为___________； （2）在轴上有一点，在轴上是否存在点，使是等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由： （3）若轴上的动点在点的右侧，以为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连接并延长，交轴于点，当运动时，点的位置是否发生变化？若不变，请求出点的坐标；若变化，请说明理由． 4．（2023秋·重庆渝中·八年级重庆巴蜀中学校考阶段练习）如图所示，在直角坐标系中，，，线段在轴上平移，且满足，连接、、．    （1）当时，__________； （2）当四边形的周长取得最小值时，求出此时点的坐标及四边形的最小周长； （3）在（2）的条件下，连接，当向下平移的过程中，轴上是否存在一点，使为等腰直角三角形？若存在，请求出点的坐标，若不存在，请说明理由． 5．（2023春·重庆涪陵·八年级西南大学附中校考开学考试）如图，直线的图像与轴和轴分别交于点和点，将沿直线对折使点和点重合，直线与轴交于点，与交于点，连接． （1）求线段的长； （2）若点是点关于轴的对称点，求的面积； （3）已知轴上有一点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，请求出所有满足条件的点的坐标． 6．（2022春·湖南岳阳·八年级校考阶段练习）如图，直线分别交x轴、y轴于点A，C，直线过点C交x轴于点B，且，，点P是直线上的一点． （1）求直线的解析式； （2）若动点P从点B出发沿射线方向匀速运动，速度为个单位长度/秒，连接，设的面积为S，点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出t的取值范围； （3）若点Q是直线上且位于第三象限图象上的一个动点，点M是y轴上的一个动点，当以点B、 M、Q为顶点的三角形为等腰直角三角形时，求点Q和点M的坐标． 7．（2023秋·黑龙江哈尔滨·八年级哈尔滨市第四十九中学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标为，在x轴的负半轴取点A，在x轴的正半轴取点B，面积等于36，．    （1）求点A的坐标． （2）如图2，动点P以每秒2个单位长度的速度从点A出发沿方向向终点O运动，运动时间为t，过点P作交于点D，在的延长线上取点E，使得