专题14.3 因式分解的应用（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题14.3 因式分解的应用 【典例1】已知a，b，c三个数两两不等，且有，试求m的值． 【思路点拨】 ，得，移项后因式分解得到，由a，b，c三个数两两不等，则，得到①，同理可得②，③，分和两种情况求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∵a，b，c三个数两两不等， ∴， ∴①， 同理可得②，③， 当时， ①＋②＋③得，， ∴， ∴， ∴， 解得， 当时， ∵a，b，c三个数两两不等， ∴a，b，c三个数中至少一个不是0， 设， ∴, ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上可知，m的值为或． 1．（2022秋·福建泉州·八年级校考期中）已知，均为正整数且满足，则的最小值是（　　） A．20 B．30 C．32 D．37 2．（2022春·广东揭阳·八年级统考期末）已知，那么的值为（    ） A．2020 B．2021 C．2022 D．2023 3．（2022春·湖南株洲·七年级株洲二中校考期中）已知a>b>c，M=a2b+b2c+c2a，N=ab2+bc2+ca2，则M与N的大小关系是（     ） A．M>N B．M＜N C．M=N D．不能确定 4．（2023·全国·九年级专题练习）已知当和时，多项式的值相等，且，则当时，多项式的值等于（　　） A． B． C．3 D．11 5．（2022春·重庆·九年级校联考期中）已知多项式和（m，n为常数），以下结论中正确的是（    ） ①当且时，无论y取何值，都有； ②当时，所得的结果中不含一次项； ③当时，一定有； ④若且，则； ⑤若，且x，y为整数，则． A．①②④ B．①②⑤ C．①④⑤ D．③④⑤ 6．（2022秋·七年级单元测试）正数满足，那么______． 7．（2022秋·山东泰安·八年级校联考期中）已知，，，则多项式的值为______． 8．（2023秋·福建宁德·八年级校考阶段练习）已知，，且，则值为 _______． 9．（2023·江苏南通·八年级南通田家炳中学校考阶段练习）若，且，，则____________． 10．（2023春·浙江·九年级专题练习）已知，，那么______，______． 11．（2023秋·湖北武汉·八年级湖北省水果湖第二中学校考期末）对于二次三项式（m、n为常数），下列结论： ①若，且，则； ②若，则无论x为何值时，都是正数； ③若，则： ④若，且，其中a、b为整数，则m可能取值有10个． 其中正确的有______．（请填写序号） 12．（2023春·江苏·七年级专题练习）求证：若是7的倍数，其中x、y都是整数，则是49的倍数． 14．（2022春·四川成都·七年级校联考期中）阅读材料：把形如的二次三项式或其一部分配成完全平方式的方法叫做配方法．配方法基本形式是完全平方公式的逆写，即． 例如：、、是的三种不同形式的配方即“余项”分别是常数项、一次项、二次项． 请根据阅读材料解决下列问题： （1）比照上面的例子，写出三种不同形式的配方； （2）已知，，求的值； （3）当，何值时，代数式取得最小值，最小值为多少？ 15．（2022秋·重庆北碚·八年级西南大学附中校考阶段练习）若一个正整数a可以表示为，其中b为大于2的正整数，则称a为“十字数”，b为a的“十字点”．例如． （1）“十字点”为7的“十字数”为 ；130的“十字点”为 ； （2）若b是a的“十字点”，且a能被整除，其中b为大于2的正整数，求a的值； （3）m的“十字点”为p，n的“十字点”为q，当时，求的值． 16．（2023春·江苏·七年级专题练习）阅读下列材料： 在因式分解中，把多项式中某些部分看作一个整体，用一个新的字母代替（即换元），不仅可以简化要分解的多项式的结构，而且能使式子的特点更加明显，便于观察如何进行因式分解，这种方法就是换元法． 对于． 解法一：设，则原式 ； 解法二：设，，则原式 ． 请按照上面介绍的方法解决下列问题： （1）因式分解：； （2）因式分解：； （3）求证：多项式的值一定是非负数． 17．（2023秋·吉林长春·八年级统考期末）我们知道，对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式．例如图①可以得到．请回答下列问题： （1）写出图②中所表示的数学等式______； （2）猜测______． （3）利用（1）中得到的结论，解决下面的问题：已知，，求的值； （4）在（3）的条件下，若a、b、c分别是一个三角形的三边长，请判断该三角形的形状，并说明理由． 18．（2022秋·全国·八年级期末）在数的学习中，我们总会对其中一些具有某种特性的数进行研究，若一个正整数是两个相差为3的数的乘积，即，其中为正整数，则称为“如意数”，为的“如意起点”．例如：，则18是“如意