专题14.2 因式分解（压轴题专项讲练）-2023-2024学年八年级数学上册压轴题专项讲练系列（人教版）

专题14.2 因式分解 【典例1】【阅读与思考】整式乘法与因式分解是方向相反的变形．如何把二次三项式进行因式分解呢？我们已经知道，a1x c1a2x c2 a1a2x2 a1c2x a2c1x c1c2 a1a x2a1c2 a2c1 x c1c2． 反过来，就得到：． 我们发现，二次项的系数a分解成，常数项c分解成，并且把a1， a2， c1， c2如图①所示摆放，按对角线交叉相乘再相加，就得到，如果的值正好等于ax2+bx+c的一次项系数b，那么就可以分解为a1x c1a2 x c2 ，其中a1 ， c1位于图的上一行，a2 ， c2位于下一行． 像这种借助画十字交叉图分解系数，从而帮助我们把二次三项式分解因式的方法，通常叫做“十字相乘法”． 例如，将式子分解因式的具体步骤为：首先把二次项的系数1分解为两个因数的积，即1=1×1，把常数项－6也分解为两个因数的积，即－6=2×(－3)；然后把1，1，2，－3按图②所示的摆放，按对角线交叉相乘再相加的方法，得到1×(－3)+1×2= －1，恰好等于一次项的系数－1，于是就可以分解为(x 2)(x 3)． 请同学们认真观察和思考，尝试在图③的虚线方框内填入适当的数，并用“十字相乘法”分解因式：= ． 【理解与应用】 请你仔细体会上述方法并尝试对下面两个二次三项式进行分解因式： （1）= ； （2）= ． 【探究与拓展】 对于形如的关于x，y的二元二次多项式也可以用“十字相乘法”来分解．如图④，将a分解成mn乘积作为一列，c分解成pq乘积作为第二列，f分解成jk乘积作为第三列，如果mq np b ， pk qj e ，mk nj d，即第1，2列、第2，3列和第1，3列都满足十字相乘规则，则原式= mx py jnx qy k ，请你认真阅读上述材料并尝试挑战下列问题： （1）分解因式= ； （2）若关于x，y的二元二次式可以分解成两个一次因式的积，求m的值； （3）已知x，y为整数，且满足，请写出一组符合题意的x，y的值． 【思路点拨】 【阅读与思考】利用十字相乘法，画十字交叉图，即可； 【理解与应用】（1）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可； （2）利用十字相乘法，画十字交叉图，即可； 【探究与拓展】（1）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可得到答案； （2）根据二元二次多项式的十字相乘法，画十字交叉图，即可求解； （3）根据二元二次多项式的十字相乘法，对方程进行分解因式，化为二元一次方程，进而即可求解． 【解题过程】 解：【阅读与思考】画十字交叉图： ∴= x -3 x 2． 故答案是： x- 3 x 2； 【理解与应用】（1）画十字交叉图： ∴2x2 5x 7 = x 12x 7， 故答案是： x 12x 7； （2）画十字交叉图： ∴6x2 7xy 2y2 = 2x y3x 2y， 故答案是：2x y3x 2y； 【探究与拓展】（1）画十字交叉图： ∴3x2 5xy 2y2 x 9y 4 x 2y 13x y 4， 故答案是：x 2y 13x y 4； （2）如图， ∵关于x，y的二元二次式x2+7xy－18y2－5x+my－24可以分解成两个一次因式的积， ∴存在1×1=1，9×(－2)=－18，(－8)×3= －24，7=1×(－2)+1×9 ，－5=1×(－8)+1×3， ∴m=9×3+ (－2)×(－8)=43或m=9×(－8)+(－2)×3= －78． ∴m的值为：43或－78； （3）∵， ∴， 画十字交叉图： ∴， ∴或， ∵x，y为整数， ∴x=－1，y=0是一组符合题意的值． 1．（2023春·江苏·七年级专题练习）因式分解：15x2+13xy﹣44y2＝_____． 2．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式：______． 3．（2023春·七年级课时练习）分解因式：___________． 4．（2023春·七年级课时练习）因式分解：x3﹣6x2+11x﹣6＝_____． 5．（2023春·七年级课时练习）因式分解：_______． 6．（2023春·七年级课时练习）分解因式： ______ ． 7．（2023春·江苏·七年级专题练习）分解因式： （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7） （8） （