上海市格致中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试卷

格致中学 二O二三学年度第一学期期中考试 高三年级 数学试卷（共4页） (测试120分钟内完成，总分150分，试后交答题卷) 友情提东：靠天，你配然经历了理苦的学日，伞天，你必将藏得可喜的收衣/ 祝你：钱实守信，况骨岭也，细数陪实，自信自极，去迎接胜利/ 一、 填空题：（本大题共12题，第1-6题每小题4分，第7-12题每小题5分， 满分54分) 1、已知全集U=R,桌合A=之xeR,则】 2、已知复数z=1+i(1为虚数单位)，则-i过=」 3、若角α的顶点是坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，它的终边过点P(-3,4), 则cos2a=】 [2(xs0) 4、己知函数∫(x)= 则函数∫(x)的值域为 5、有一列正方体，棱长组成以1为首项， 为公比的等比数列，体积分别记为 ,2,…,Yn,…,则im(化+2+…+)=」 6、在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=4,b=5,c=6,则sinA=_ 7、已知向量ā，石满足日=3，同=4，巨+2=7，则a与的夹角为 8、给出下面四个命题： ①过一个球的球心和球面上任意两个点，有且只有一个平面； ②若直线a∥直线b,直线bc平面a,则直线a∥平面a: ③若直线a⊥直线b,直线a⊥直线c,直线b,cc平面a,则直线a⊥平面a; ④若直线a垂直于直线b在平面a内的射影，则直线a⊥直线b, 则上述结论不正确的有 ·(填序号) 9、过直线y=x上的一点作圆(x-5)+(y-1)=2的两条切线，，当直线4,2关 于直线y=x对称时，它们之间的夹角为 10、己知(1+2024x)°+(2024-x)”=a6+ax+a2x2+…+a0x0，其中a,4,4, …,a0∈R,若a4<0,ke{0,l,2,…,50},则实数k的最大值 为 11、设函数f(x)+也 x-c (a,b,c为常数)的部分图像如右图所 示，则a+b+c= 12、2023年“国际进口博览会”即将在上海举行，现要在场馆入口布置一个大型 立体花卉景观，景观的框架由中空钢管搭建的而成，外型是由若干个小正方 体叠加而成的大正方体，已知搭建此立体花卉景观的脚手架钢管安装呈现东 一西、南一北、上一下的网络状，每三根钢管相交处需要焊接，这些焊接点 (小正方体的顶点)称为格点，相邻焊接点之间的距离都为1米（即每个小 正方体的棱长都为1米)，若以互相垂直的三条钢管为轴建立空间直角坐标 系，现要在一个格点处接入水源，并在下述6个格点：（-2,2,0)，(3,1，-1)， (3,42),(4,5,),(6,6,-2),(0,0,3)处安装喷淋，使5处喷淋与水源接入口所排 水管的总长度最小，则此时水管总长度的最小值为米（水管必须在连 通的钢管内部穿行，不计各接头处的水管损耗)， 二、选择题：（本大题共4题，第13、14题每小题4分，第15、16题每小题5 分，满分18分) 13、设a,b是非零实数，若a<b,则下列不等式成立的是() (A)a2<b2 (B)ab2<a'b 14、由方程x+yy=1确定函数y=f(x),则f(x)在(-1,1)上是() (A)增函数 (B)减函数 (C)奇函数 (D)偶函数 15、已知函数/-血牙5xs引g(倒=6os(受5xs引 下列四个 结论：①方程f[g(x)]=0有2个不同的实数解： ②方程g[∫(x]=0有2个不同的实数解： ③方程∫[∫(x]=0有且只有1个实数解： ④方程g[g(x]=m(m∈(0,1)有2个不同的实数解。 其中正确的结论有(） (A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个 16、设圆0，和圆O,是两个定圆，动圆P与这两个定圆都相切，则动圆P的圆心 的轨迹不可能是() )( )○( (4) (B) (C) (D) 三、解答题：（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸相应 编号的规定区域内写出必要的步骤， 17、（本题共有2小题，满分14分，第1小题满分7分，第2小满分7分) 如图，在长方体ABCD一AB,CD中，AB=4, AD=2,A4=1,点E是棱AB的中点. (I)求异面直线AD与DE所成角的大小： (2)求点C到平面D,DE的距离. 18、(本题共有3小题，满分14分，第1小题满分3分，第2小题满分3分 第3小题满分8分) 小明从家到学校的上学的路上要经过3个路口，假设在各路口是否遇到红灯 是相互独立的，每个路口過到红灯的概率都是 每遇到一次红灯的平均等待时 间是1分钟. (1)求小明在上学路上第一个路口未遇到红灯，而在第二个路口遇到红灯的概率： (2)求小明在上学路上至少遇到一次红灯的概率： (3)求小明在上学路上因遇到红灯停留总时间X的分布、期望E[X]、方差D[X]. 19、(本题共有3小题，满分14分，第1小题满分3分，第2小题满分5分，