四川省德阳市第五中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学（理）试题

德阳五中高2021级高三上期期中考试 数学试卷（理科） （总分：150分 答题时间：120分钟） 一.选择题：(每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求，请将答案填涂在答题卡上) 1. 已知集合，，则 A. B. C. D. 2. 设复数，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图所示，在中，点是线段上靠近A的三等分点，点是线段的中点， 则（ ） A. B. C. D. 4. 执行如图所示的程序框图，将输出的看成输入的的函数，得到函数，若，则（ ） A. B. C. 或 D. 1 5. 已知m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，，，则 C. 若，，则 D . 若，，，则 6. 函数的图象大致为（ ） A. B. C. D. 7.早在公元5世纪，我国数学家祖暅在求球的体积时，就创造性地提出了一个原理：“幂势既同，则积不容异”，即夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积、总相等，则这两个几何体的体积、相等.根据“祖暅原理”，“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8.已知，函数在上单调递减，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 从1、2、3、4、5、6、7这7个数中任取5个不同的数，事件：“取出的5个不同的数的中位数是4”，事件：“取出的5个不同的数的平均数是4”，则（ ） A. B. C. D. 10. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则的外接圆的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 已知抛物线的焦点为，过点的直线交于两点，为坐标原点，记与的面积分别为和，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 12. 已知函数，设方程的3个实根分别为，且，则的值可能为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 13. 若满足约束条件，则的最小值为______． 14．某同学在研究性学习中，收集到某制药厂今年前5个月甲胶震生产产量（单位：万盒）的数据如表所示：若线性相关，线性回归方程为，则当时，的预测值为 万盒． 15. 已知，则___________ 16. 如图，在正方体中，E是棱的中点，记平面与平面ABCD的交线，平面与平面的交线，若直线AB与所成角为，直线AB与所成角为，则的值是______． 三、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17. 已知等比数列的第二､三､四项分别是等差数列的第二､五､十四项，且等差数列的首项，公差. （1）求数列与的通项公式； （2）设数列对任意均有成立，求的值. 18．如图，在四边形中，的面积为 (1)求； (2)证明：． 19．春节期间，我国高速公路继续执行“节假日高速免费政策” .某路桥公司为了解春节期间车辆出行的高峰情况，在某高速收费点发现大年初三上午9：20~10：40这一时间段内有600辆车通过，将其通过该收费点的时刻绘成频率分布直方图.其中时间段9：20~9：40记作区间，9：40~10：00记作，10：00~10：20记作，10：20~10：40记作，例如：10点04分，记作时刻64. (1)估计这600辆车在9：20~10：40时间段内通过该收费点的时刻的平均值（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）； (2)为了对数据进行分析，现采用分层抽样的方法从这600辆车中抽取10辆，再从这10辆车中随机抽取4辆，记X为9：20~10：00之间通过的车辆数，求X的分布列与数学期望； (3)由大数据分析可知，车辆在春节期间每天通过该收费点的时刻T服从正态分布，其中可用这600辆车在9：20~10：40之间通过该收费点的时刻的平均值近似代替，可用样本的方差近似代替（同一组中的数据用该组区间的中点值代表），已知大年初五全天共有1000辆车通过该收费点，估计在9：46~10：40之间通过的车辆数（结果保留到整数）. 参考数据：若，则，，. 20. 已知函数，其中a是正数． （1）讨论的单调性