广东省清远市名校2023-2024学年高二上学期期中调研联考数学试题

高二级2023～2024学年度第一学期期中调研考试 数学 考生注意： 1.满分150分，考试时间120分钟. 2.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 3.本卷命题范围：人教A版必修第二册第十章，选择性必修第一册第一章～第二章. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知向量，则与同向共线的单位向量（ ） A. B. C. D. 2. 若方程表示圆，则实数a的取值范围为（ ） A. B. C. D. 3. 已知直线的一个方向向量为，则直线的倾斜角（ ） A B. C. D. 4. 在一次抛硬币的试验中，某同学用一枚质地均匀的硬币做了800次试验，发现正面朝上出现了440次，那么出现正面朝上的频率和概率分别为（ ） A. 0.55，0.55 B. 0.55，0.5 C. 0.5，0.5 D. 0.5，0.55 5. 两条平行直线和间的距离为，则分别为（ ） A. B. C. D. 6. 若随机事件，互斥，，发生的概率均不等于0，且，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平行六面体的各棱长均为，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知，，从点射出的光线经直线反射后，再射到直线上，最后经直线反射后又回到点，则光线所经过的路程是（ ） A. B. 6 C. D. 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分. 9. 经过点P（1，1），且在两轴上截距相等的直线可以是（ ） A. y=x B. x+y-2=0 C. x+2y-3=0 D. 3x-y-2=0 10. 已知事件，，且，，则下列结论正确的是（ ） A. 如果，那么， B. 如果与互斥，那么， C. 如果与相互独立，那么， D. 如果与相互独立，那么， 11. 如图，两两垂直，且，以点坐标原点，所在直线分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，则（ ） A. 点关于点的对称点的坐标为 B. 夹角的余弦值为 C. 平面的一个法向量的坐标为 D. 平面与平面夹角的正弦值为 12. 瑞士著名数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一直线上．这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则下列结论正确的是（ ） A. 的“欧拉线”方程为 B. 圆上点到直线的最大距离为 C. 若点在圆上，则的最小值是 D. 圆与圆有公共点，则的取值范围是， 三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分. 13. 已知向量，点，且，则______. 14. 某幼儿园一名小朋友过生日，幼儿园老师为该小朋友准备了5个一样的盒子，其中4个盒中各装有一个变形金刚玩具，另外1个盒中装有一套积木玩具.这名小朋友要从这5个盒中选出2个盒子作为生日礼物，则恰好取到1个变形金刚玩具和1套积木玩具的概率为______. 15. 已知P是棱长为1的正方体ABCD­-A1B1C1D1内(含正方体表面)任意一点，则的最大值为______. 16. 若圆上恰有个点到直线的距离为，则实数的取值范围为__________. 四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知直线. （1）若，求的值； （2）若，求过原点与点的直线的方程. 18. 如图，在四棱锥中，底面是边长为3的菱形，. （1）利用空间向量证明； （2）求的长. 19. 已知圆，直线. （1）求证：直线恒过定点； （2）求直线被圆截得弦长最短时的值以及最短弦长. 20. 小王创建了一个由他和甲、乙、丙共4人组成的微信群，并向该群发红包，每次发红包的个数为1个（小王自己不抢），假设甲、乙、丙3人每次抢得红包的概率相同． （1）若小王发2次红包，求甲恰有1次抢得红包的概率； （2）若小王发3次红包，其中第1，2次，每次发5元的红包，第3次发10元的红包，求乙抢得所有红包的钱数之和不小于10元的概率． 21. 设，是平面上两点，则满足(其中为常数，且)的点的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆，已知，，且. （1）求点所在圆的方程. （2）已知圆与轴交于，两点(点在点的左边)，斜率不为0的直线过点且与