第六章§5垂直关系-【重难点手册】2023-2024学年新教材高中数学必修第二册（北师大版）

国雕手细高中数学必修第二册S> §5垂直关系 重点和难点 课标要求 1,直线与平面垂直是直线与平面相交的特殊情况，对这种特殊位 置关系的认识，既可以从直线与平面相交所成的角为直角的角度来讨 论，又可以从已有的线线垂直关系出发进行推理和论证， 2.求直线与平面所成的角的关键是作直线在平面上的投影. 重点：1，直线与平面垂直的判定 3.平面与平面垂直是平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位 2.面面垂直的定义及其判定定理 置关系的认识，既可以从平面与平面的夹角为直角的角度来讨论，又可 3.直线与平面垂直的性质. 以从已有的线面垂直关系出发进行推理论证， 4.平面与平面垂直的性质. 4.判定定理中的条件“一个平面经过另一个平面的一条垂线”既为 难点：1.直线与平面所成角的定义及 证明指明了方向，同时文有很强的制约性，使用定理时，一定要注意定 求法 理的条件. 2.二面角的定义及求法。 5.线面垂直、面面垂直的性质定理揭示了“平行”与“垂直”之间的 内在联系，提供了它们之间相互转化的依据.因此，在应用时要善于运 用转化的思想. 6.利用而面垂直的性质定理时，找准两个平面的交线是解题的关键 口-01业备知识梳理一。 基础梳理 3.点到平面的距离 知识点1直线与平面垂直 过平面外一点作平面的垂线，该点与垂足 1.直线与平面垂直的定义 之间线段的长度就是该点到平面的距离. 如果一条直线和一个平面内的任何一条 4.直线到平面的距离 直线都垂直，那么称这条直线和这个平面垂 如果一条直线与一个平面平行，那么这条 直，其中，直线叫作平面的垂线，平面叫作直线 直线上任意一点到这个平面的距离就是这条 的垂面，直线与平面的唯一公共点叫作垂足. 直线到这个平面的距离。 2.直线与平面垂直的画法 知识点2直线与平面垂直的性质定理 画直线与平面垂直时，通常把表示直线的 (1)定理内容 线段画成和表示平面的平行四边形的一边垂 自然语言 图形语言 符号语言 直，如图所示.直线1与平面α垂直，记作l⊥a. 垂直于同一个 直线a⊥平面a, 平面的两条直 直线b⊥平面e 线平行 →a∥b ① ② 262 第六章立体几何初步】 分玉 的角是直角。 1.线面垂直的性质定理可简记为“若线 ②一条直线与平面平行，或在平面内，就 面垂直，则线线平行” 说它们所成的角是0的角， 2.线面垂直的性质定理的作用：(1)证 ③与平面相交且不垂直于此平面的直线 明线线平行：(2)利用直线与平面垂直的性 和此平面所成的角0的范围是0°<090 质定理可构造平行线，即这些直线都垂直于 因此，直线与平面所成的角的取值范围 同一个平面。 是0°≤≤90° (2)与线面垂直相关的几个重要结论 知识点4直线与平面垂直的判定定理 ①垂直于同一条直线的两个平面平行. 自然语言 图形语言 符号语言 ②如果平面外一条直线垂直于该平面的 如果一条直线和 一条垂线，那么这条直线平行于这个平面。 一个平面内的两 aCa.bCa. ③如果一条直线和一个平面垂直，那么它 条相交直线垂 lLa.llb.an 直，那么该直线 与这个平面的平行线垂直 b=A→lLa 与此平面垂直 知识点3直线与平面所成的角 (1)相关概念 ®思5 如图，一条直线与一个平 1.直线与平面垂直的判定定理可简述为 面α相交，但不与这个平面垂 “若线线垂直，则线面垂直” 直，这条直线称为这个平面的 2.该定理有五个条件：aCa,bCa,a∩ 斜线，斜线与平面的交点A称为斜足，过斜线 b=A,l⊥a,l⊥b,这五个条件缺一不可.但对 上斜足以外的一点P向平面作垂线，过垂足O ⊥a,⊥b在什么位置（过不过交点）、以什么 和斜足A的直线AO称为斜线在这个平面上 方式（共面或异面）都不作要求，正是这种不 的投影 作要求的“宽松”条件，使得证明直线与平面 (2)直线与平面所成的角 垂直的方法很灵活。 平面的一条斜线与它在该平面上的投影所 3.“两条相交直线”是定理的关键，应用 成的锐角，叫作这条直线与这个平面所成的角. 定理时不能忽略.例如：若一条直线与一个平 母个0 面内的两条不相交的直线都垂直，则该直线 1,点P是斜线上异于斜足A的任意一 与该平面不一定垂直 点，点P具有任意性 知识点5二面角 2.斜线在平面上的投影是过斜足和垂 1.二面角的定义 足的一条直线而不是线段 (1)半平面：一个平面内的一条直线，把这 3.求一条直线与平面所成的角，可先作 个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半 直线在平面上的投影，从而得到直线与它在 平面 平面上的投影所成的角，即可求解， (2)二面角：从一条直线出发的两个半平 (3)直线与平面所成角的范围 面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二 ①一条直线垂直于平面，我们说它们所成 面角的棱，这两个半平面称为二面角的面