6.5.2 (第1课时)平面与平面垂直（同步课件)高一数学北师大版必修第二册

该高中数学课件聚焦平面与平面垂直，涵盖二面角（半平面、定义、平面角、直二面角）、面面垂直定义及性质定理。通过对比平面相交角度、结合教室黑板与地面等现实情境提问，衔接平面平行与相交知识，搭建学习支架。 其亮点在于以生活实例（山坡倾斜度）和长方体模型引导探究，用数学眼光观察空间形式。通过问题链（如长方体中直线与平面垂直关系）培养推理意识，规范符号语言与证明步骤（如反证法证性质定理）。助力学生深化空间观念，教师可高效开展直观教学。

5.2 (第1课时)平面与平面垂直 北师大版（2019）高中数学必修第二册 第六章 立体几何初步 第5节 垂直关系 导入课题 新知讲授 典例剖析 课堂小结 两个平面的位置关系除了平行，还有其它情况吗？ 还有两平面相交的情况 在两平面相交的前提下 还有一类更特殊的情况——两平面垂直 探究一 导入课题 思考一： 下面两个图中，那个图中的平面所成的角更大？ 给定两个相交的平面，怎么衡量两个平面所成的角度？ 新知探究 典例剖析 课堂小结 一、二面角 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 1，半平面：一个平面内的一条直线，把这个平面分成两部分，其中的每一部分都称为半平面. 2，二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形称为二面角，这条直线称为二面角的棱，这两个半平面称为二面角的面，如图，以直线为棱、半平面 为面的二面角，记作二面角 或 . 3，二面角的平面角：以二面角的棱上任一点为端点， 在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条 射线的夹角称为二面角的平面角，如图中的就 是二面角的平面角. 4，直二面角：平面角是直角的二面角称为直二面角. 二、平面与平面垂直的定义 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 1，平面与平面垂直的定义：两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直，平面与垂直，记作：. 2，两个互相垂直的平面的画法：通常画成如下图的样子，把直立平面的竖边画成与水平平面的横边垂直. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P243例题 解：如图 ，设DH垂直于过BC的水平面， 点H为垂足，线段DH的长度就是所求的 高度. 在平面DBC内，过点D作BC的垂线，垂 足为点G，连接GH， 因为DH⊥平面BCH，⊂平面BCH， 所以DH⊥BC，又 DG∩DH=D，DG，DH⊂平面DGH， 所以BC⊥平面 DGH. 例5 如图 ，山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60°，山坡上 有一条直道 CD，它和坡脚的水平线 AB 的夹角是 30°，沿这条路上山，行走 100m 后升高多少米？（精确到 0. 1 m) 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P243例题 又因为GH⊂平面DGH，所以GH⊥BC， 因此，∠DGH就是坡面DGC与水平平 面BCH所成的二面角的平面角， ∠DGH=60°， 由此得DH=DGsin 60°=CDsin 30°sin 60° = 100sin 30°sin 60°=25≈43. 3(m). 即沿直道前进100 m，升高约 43. 3 m. 例5 如图 ，山坡的倾斜度(坡面与水平面所成二面角的度数)是60°，山坡上 有一条直道 CD，它和坡脚的水平线 AB 的夹角是 30°，沿这条路上山，行走 100m 后升高多少米？（精确到 0. 1 m) 探究二 导入课题 思考二： 1,在教室里，黑板所在平面与地面所在平面垂直，你能否在黑板上画一条直线与地面垂直？ 2.如图，长方体中，平面与平面垂直，直线垂直于其交线，那么直线与平面垂直吗?平面内还有哪些直线与平面垂直? 新知探究 典例剖析 课堂小结 1，能. 2，平面， 平面还有与平面 一、平面与平面垂直的性质定理 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 1，平面与平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，如果一个平面内有一条直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直.(面面垂直，线面垂直) 符号语言： . 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P244例题 解：由题意知平面平面， 交线为， 因为平 面， 且， 所以平 面 例6 如图，长方体中，在平面内，于点，判断与的位置关系，并说明理由。 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P245例题 已知：如图，，. 求证：. 证明：直接证明不易，可采用反证法. 假设，如图，设，过点在平面 内作直线，根据平面与平面垂直的性质 定理，. 已知，，这与“过一点只有一条 直线与平面垂直矛盾，所以不成立， 即. 例7 证明：如果两个平面互相垂直，那么经过第一个平面内的一点垂直于第二个平面的直线在第一个平面内. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P245练习 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 教材P233练习 1，A. 2，不平行，这两个平面的可以是任意角度. 3，略 4，已知：， 求证：. 证：因为，， 所以平面一定存在直线满足， 又因为， 所以， 所以. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 思考探究：二面角及其相关问题 思考一：如图，三棱锥中，已知平面，，，求二面角的正弦值． 证：取的中点，连接， 因为，所以， 因为平面，所以， 因为，所以平面， 因为平面，所以， 所以即为二面角的平面角． 因为，所以 ，即二面角的正弦值是. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 思考探究：平面与平面垂直 思考三：如图，是以为直径的半圆上异于的一点，矩形 所在平面垂直于该半圆所在平面，且， (1)求证：； (2)设平面与半圆弧的另一个交点为，，求的面积． 证：(1)因为平面平面，平面平面， 平面且， 所以平面，从而， 又因为为半圆的直径， 所以，即，且， 所以平面，因为平面，故有. 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 课堂 小结 本节重点 思想方法 1，解决二面角问题的策略 (1)清楚二面角的平面角的大小与顶点在棱上的位置无关，通常可根据需要选择特殊点作平面角的顶点． (2)求二面角的大小的方法： 一作：即先作出二面角的平面角； 二证：即证明所作角是二面角的平面角； 三求：即利用二面角的平面角所在的三角形算出角的三角函数值，其中关键是“作”． 一，二面角 1，半平面 2，二面角 3，二面角的平面角 二，平面与平面垂直的定义 1，平面与平面垂直的定义 2，两个互相垂直的平面的画法 三，平面与平面垂直的性质定理 导入课题 新知探究 典例剖析 课堂小结 课后作业 作业1：正方形所在平面与四边形所在平面互相垂直，，求证：平面. 证明：设，则， 过点作于点， 因为，所以， 又因为，所以， 所以四边形是正方形． 所以，所以， 所以，所以， 又因为平面平面， 平面平面，平面， 所以平面. 谢谢聆听！