专题03 反比例函数与特殊四边形存在性问题-【常考压轴题】2023-2024学年九年级数学下册压轴题攻略（人教版）

专题03 反比例函数与特殊四边形存在性问题 类型一、平行四边形形存在性问题 例．如图，在中，，，．一次函数交轴于点，交反比例函数于、两点． (1)求一次函数和反比例函数的解析式； (2)求的面积； (3)问：在直角坐标系中，是否存在一点，使以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【变式训练1】．如图1，已知，，平行四边形的边、分别与轴、轴交于点、，且点为中点，双曲线为常数，上经过、两点． (1)求的值； (2)如图2，点是轴正半轴上的一个动点，过点作轴的垂线，分别交反比例函数为常数，图像于点，交反比例函数的图像于点，当时，求点坐标； (3)点在双曲线上，点在轴上，若以点、、、为顶点的四边形是平行四边形，试求出满足要求的所有点的坐标． 【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，的直角边在轴上，轴，，，反比例函数的图象经过线段的中点，与交于点．    (1)求点的坐标． (2)求反比例函数的表达式及点的坐标． (3)在坐标平面上是否存在一点，使得以，，，为顶点的四边形是平行四边形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，诸说明理由． 【变式训练3】．如图，在平面直角坐标系中，已知，，已知点、，且点B在第二象限内． (1)求点B的坐标； (2)将以每秒3个单位的速度沿x轴向右运动，设运动时间为t秒，是否存在某一时刻，使B、C的对应点E、F，恰好落在第一象限内的反比例函数的图像上，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式； (3)在（2）的情况下，问：是否存在x轴上的点P和反比例函数图像上的点Q，使得以P、Q、E、F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 类型二、菱形存在性问题 例．如图，矩形OABC的顶点A，C分别落在x轴，y轴的正半轴上，顶点B(2，)，反比例函数（x＞0）的图象与BC，AB分别交于D，E，BD＝． (1)求出点D坐标和反比例函数关系式； (2)写出点E的坐标并判断DE与AC的位置关系（说明理由）； (3)点F在直线AC上，点G是坐标系内点，当四边形BCFG为菱形时，求出点G的坐标并判断点G是否在反比例函数图象上． 【变式训练1】．如图1，四边形ABCD为正方形，点A在y轴上，点B在x轴上，且OA＝6，OB＝3，反比例函数在第一象限的图象经过正方形的顶点C． (1)求点C的坐标和反比例函数的表达式； (2)如图2，将正方形ABCD沿x轴向右平移m个单位长度得到正方形，点恰好落在反比例函数的图象上，求此时点的坐标； (3)在（2）的条件下，点P为x轴上一动点，平面内是否存在点Q，使以点O、、P、Q为顶点的四边形为菱形，若存在，请直接写出点Q的坐标，若不存在，请说明理由． 【变式训练2】．如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCO为矩形，，，点P从点A出发，以每秒1cm的速度沿AB方向向终点B运动；点Q从点D出发，以每秒2cm的速度沿DC方向向终点C运动，已知动点P、Q同时出发，当点P、Q有一点到达终点时，P、Q都停止运动，设运动时间为t秒． (1)用含t的代数式表示：_______cm，_______cm； (2)函数的图像在第一象限内的一支双曲线经过点P，且与线段BC交于点M，若出△POM的面积为7.5，试求此时t的值： (3)点P、Q在运动过程的中，是否存在某一时刻t，使坐标平面上存在点E，以P、Q、C、E为顶点的四边形刚好是菱形？若存在，请求出所有满足条件的t的值，若不存在，请说明理由． 【变式训练4】．综合与探究 如图1，反比例函数的图象经过点，点的横坐标是－2，点关于坐标原点的对称点为点，作直线． (1)判断点是否在反比例函数的图象上，并说明理由； (2)如图1，过坐标原点作直线交反比例函数的图象于点和点，点的横坐标是4，顺次连接，，和．求证：四边形是矩形； (3)已知点在轴的正半轴上运动，点在平面内运动，当以点，，和为顶点的四边形为菱形时，请直接写出此时点的坐标． 类型三、矩形存在性问题 例．如图，已知直线y＝x＋1与双曲线y＝交于A，B两点，且点A的坐标为（a，2）． (1)求双曲线的表达式； (2)将直线y＝x＋1向下平移一个单位长度得直线l，P是y轴上的一个动点，Q是l上的一个动点，求AP＋PQ的最小值； (3)若M为y轴上的一个动点，N为平面内一个动点，当以A，B，M，N为顶点的四边形是矩形时，直接写出点N的坐标． 【变式训练1】．如图，在直角坐标系中，直线与反比例函数的图像交于、B两点． (1)求反比例函数的表达式； (2)将直线向上平移后与y轴交于点C，与双曲线在第二象限内的部分交于点D，如果的面积为16，求直线向上平移的距离； (3)E是y轴正半轴上的一点，F是平面内任意一点，使以点A，B，