6.1 幂函数-2023-2024学年高一数学《考点•题型 •技巧》精讲与精练高分突破系列（苏教版2019必修第一册）

6.1幂函数 【考点梳理】 考点一：幂函数的概念 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． 考点二：五个幂函数的图象与性质 1．在同一平面直角坐标系内函数(1)y＝x；(2)y＝；(3)y＝x2；(4)y＝x－1；(5)y＝x3的图象如图． 2．五个幂函数的性质 y＝x y＝x2 y＝x3 y＝x－1 定义域 R R R [0，＋∞) {x|x≠0} 值域 R [0，＋∞) R [0，＋∞) {y|y≠0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 单调性 增 在[0，＋∞) 上增， 在(－∞，0] 上减 增 增 在(0，＋∞)上减， 在(－∞，0)上减 考点三：一般幂函数的图象特征 1．所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)． 2．当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸． 3．当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数． 4．幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y＝x对称． 5．在第一象限，作直线x＝a(a>1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列． 【题型归纳】 题型一：幂函数的定义 1．（2023·江苏·高一）在函数，，，中，幂函数的个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 2．（2023·全国·高一专题练习）在函数，中，幂函数的个数为（　　） A．0 B．1 C．2 D．3 3．（2023秋·广东阳江·高一统考期中）已知幂函数的图象过点，则（    ） A． B． C． D． 题型二：幂函数的值域问题 4．（2023·全国·高一专题练习）在下列函数中，定义域和值域不同的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·全国·高一专题练习）幂函数的图象过点，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 6．（2022·全国·高一）（1）函数的定义域是 ，值域是 ； （2）函数的定义域是 ，值域是 ； （3）函数的定义域是 ，值域是 ； （4）函数的定义域是 ，值域是 ． 题型三：幂函数的定点和图像问题 7．（2022·江苏·高一专题练习）幂函数在第一象限的图像如图所示，则的大小关系是 （    ） A． B． C． D． 8．（2023·江苏·高一专题练习）如图所示，图中的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取，四个值，则相应于，，，的依次为（    ） A．，，， B．，，， C．，，， D．，，， 9．（2022秋·江苏连云港·高一期末）已知幂函数的图象过函数的图象所经过的定点，则的值等于（　　） A． B． C．2 D． 题型四：判断幂函数的单调性 10．（2023·江苏·高一专题练习）函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 11．（2021秋·江苏盐城·高一盐城市伍佑中学校考期中）若幂函数在区间上是减函数，则实数的值为（    ） A．或 B． C．或2 D． 12．（2020秋·江苏泰州·高一统考期末）已知幂函数的图象过点，则该函数的单调递减区间为（          ） A． B． C． D． 题型五：幂函数的单调性问题（比较大小、解不等式、参数） 13．（2023秋·江苏常州·高一常州市北郊高级中学校考期末）若函数为幂函数，且在区间上单调递减，则（    ） A． B．3 C．或3 D．2或 14．（2022·江苏·高一专题练习）已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递减，则满足的a的取值范围为（    ） A． B． C． D． 15．（2022秋·江苏南通·高一海安高级中学校考期中）已知，，，则的大小顺序为（    ） A． B． C． D． 题型六：幂函数的奇偶性问题 16．（2023·高一课时练习）已知幂函数在区间上是单调增函数，且的图象关于y轴对称，则m的值为（    ）． A． B．0 C．1 D．2 17．（2021·高一单元测试）已知是幂函数，且在上单调递增，则满足的实数的范围为（    ） A． B． C． D． 18．（2021秋·江苏·高一专题练习）已知函数，若当时，恒成立，则实数m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 题型七：幂函数的综合性问题 19．（2023秋·高一课时练习）已知幂函数为奇函数． (1)求的解析式； (2)若正数满足，若不等式恒成立．求的最大值． 20．（2022秋·江苏常州·高一校联考阶段练习）已知函数为幂函数，且为奇函数. (1)求的值，