广东省深圳外国语学校（集团）龙华高中部2023-2024学年高二上学期学段（一）期中考试数学试题

深圳外国语学校（集团）龙华高中部2023—2024学年度 高二年级第一学期学段（一）考试 数学试卷 命题人： 审题人： 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分为150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1、 答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和学号填写在答题卡密封线内相应的位置上，用2B铅笔将自己的学号填涂在答题卡上。 2、 选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案；不能答在试卷上。 3、非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔在答题卡上作答，答案必须写在答卷纸各题目指定区域内的相应位置上，超出指定区域的答案无效；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4、考生必须保持答题卡的整洁和平整。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．已知向量，，若，则（    ） A． B．4 C．或1 D．4或 2．椭圆的焦距为（    ） A．8 B． C．4 D． 3．圆与圆的公切线条数为（      ） A．条 B．条 C．条 D．条 4．若直线与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．如图，在四面体OABC中，，且，则（    ） A． B． C． D． 6．已知直线过定点，且为其一个方向向量，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 7．已知直线和圆交于两点，则的最小值为（    ） A． B． C．4 D．2 8． 关于曲线，下面结论正确是（ ） ①曲线关于原点对称；②曲线关于直线对称；③曲线是封闭图形，且封闭图形的面积大于；④曲线不是封闭图形，且它与圆无公共点；⑤曲线与曲线有4个交点，这四点构成正方形. A．①②④ B．①③⑤ C．①②③⑤ D．①②④⑤ 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分. 9．关于空间向量，以下说法正确的是（    ） A．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线 B．已知为空间的一个基底，若，则也是空间的基底 C．若对空间中任意一点，有，则，，，四点共面 D．两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线 10．下列说法错误的是（    ） A．“”是直线与直线互相垂直的充要条件 B．若直线l的一个方向向量是，则直线l的斜率为 C．直线在y轴上的截距为3 D．经过点，倾斜角为的直线方程为 11．已知圆 ，直线，则（    ） A．直线恒过定点 B．当时，圆上恰有三个点到直线的距离等于1 C．直线与圆仅有一个交点 D．若圆与圆 恰有三条公切线，则 12．如图，正方体的棱长为，点分别是平面､平面､平面的中心，点是线段上的动点，则下列结论正确的是（ ） A．与所成角为 B．点到平面的距离为 C．三棱锥的体积为定值 D．直线与平面所成角的正切值的最大值为 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 13．方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的范围是 . 14．若直线与直线平行，则这两平行线间距离为 . 15．如图在平行六面体中，，，则的长是 ． 16． 已知是椭圆的左焦点，经过原点的直线与椭圆交于两点，若，且，则椭圆的离心率 ． 四、解答题:本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17（10分）已知的三个顶点分别为． (1)求边上的高所在直线的方程； (2)求的面积． 18（12分）如图，已知平面，底面为矩形，，，、分别为、的中点． (1)求证：平面； (2)求点到平面的距离． 19（12分）已知圆，直线过点. (1)当直线与圆相切时，求直线的斜率； (2)线段的端点在圆上运动，求线段的中点的轨迹方程. 20（12分）古希腊数学家阿波罗尼奥斯（约公元前262~公元前190年）的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，著作中有这样一个命题：平面内与两定点距离的比为常数（且）的点的轨迹是圆，后人将这个圆称为阿波罗尼斯圆.已知平面直角系中的点，则满足的动点的轨迹记为圆. (1)求圆的方程； (2)过点向圆作切线，切点分别是，求直线的方程. 21（12分）如图，在棱长为的正方体中，，分别是棱，上的动点，且. (1)求证：； (2)当三棱锥的体积取得最大值时，求与面所成角的正弦值. 22（12分）已知椭圆