上海师范大学附属中学闵行分校2023-2024学年高二上学期期中考试数学试题

上师大附中高二上期中数学试卷 一、填空题（本大题共12题，满分54分，第16题每题4分，第712题每题5分） 1. 课本必修第三册80页上介绍了“多面体的欧拉定理”：简单多面体的顶点数、棱数与面数之间具有关系： . 2. 将循环小数化为分数 . 3. 已知等差数列中，，，则 . 4. 若一个球的体积是，则这个球的表面积为 . 5. 在棱长为1的正方体中，点是棱靠近的三等分点，点是棱靠近的四等分点，则四棱锥的体积为 . 6. 与空间不共面的四点距离相等的平面共有 个. 7. 数列满足，则数列的通项公式 . 8. 设甲、乙两个圆柱的底面积分别为，体积分别为，若它们的侧面积相等，且，则的值是 . 9. 设等比数列的公比为，且前项和为，若，，则正整数的值为 . 10. 已知圆锥底面半径为，高为1，则过圆锥的母线的截面面积的最大值为 . 11. 若数列是等差数列，数列满足，数列的前项和为，若满足，则当取得最大值时，的值为 . 12. 如图，已知正方体的棱长为2，长为2的线段的一个端点在棱上运动，点在正方体的底面内运动，则的中点的轨迹与正方体从顶点出发的三个面围成的几何体的表面积是 . 二、选择题（本大题共4题，满分18分，13、14每题4分，15、16每题5分） 13. 已知是三条不重合的直线，是两个不重合的平面，则的一个充分条件（ ） A. B. C. ，与不相交 D. ，与相交 14. 数列满足，则 （ ） A. B. C. D. 15. 如图，四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出 的图形个数为（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 16. 在1和2之间插入个数，组成首项为1，末项为2的等差数列，若这个数列的前项的和，同后项的和之比为，则插入数的个数是（ ） A. 8个 B. 10个 C. 12个 D. 14个 三、解答题（本大题共5题，共14+14+14+18+18=76分） 17. 如图，在直三棱柱中，，分别是的中点，求证： （1）； （2）. 18. 设公比为正数的等比数列的前项和为，已知，数列满足. （1）求数列和的通项公式； （2）设数列的前项和为，若不等式恒成立，求的最小值. 19. 如图，在边长为12的正方形中，点在线段上，且，作，分别交于点，作，分别交于点，将该正方形沿折叠，使得与重合，构成如图所示的三棱柱. （1）求四棱锥的体积； （2）求平面与平面所成锐二面角的余弦值. 20. 设数列的前项和为，若（为正整数）. （1）证明为等比数列并求数列的通项公式； （2）设，数列的前项和为，求； （3）求证：. 21. 正多面体又称为柏拉图立体，是指一个多面体的所有面都是全等的正三角形或正多边形，每个顶点聚集的棱的条数都相等，这样的多面体就叫做正多面体。可以验证一共只有五种多面体。令（均为正整数），我们发现有时候某正多面体的所有顶点都可以和另一个正多面体的一些顶点重合，例如正面体的所有顶点可以与正面体的某些顶点重合，正面体的所有顶点可以与正面体的所有顶点重合，等等. （1）当正面体的所有顶点可以与正面体的某些顶点重合时，求正面体的棱与正面体的面