专题14.30 整式的乘法与因式分解（全章知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题14.30 整式的乘法与因式分解（全章知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】幂的运算 （1）同底数幂的乘法：(为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. （2）幂的乘方： (为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. （3）积的乘方： (为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. （4）同底数幂的除法：(≠0, 为正整数，并且). 同底数幂相除，底数不变，指数相减. （5）零指数幂：即任何不等于零的数的零次方等于1. 要点提醒：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁. 【知识点2】整式的乘法和除法 （1）单项式乘以单项式 单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式. （2）单项式乘以多项式 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即(都是单项式). （3）多项式乘以多项式 多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即. 要点提醒：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：. （4）单项式相除 把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式. （5）多项式除以单项式 先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加. 即： 【知识点3】乘法公式 （1）平方差公式： 两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差. 要点提醒：在这里，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式. 平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方. （2）完全平方公式：； 两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍. 要点提醒：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍. 【知识点4】因式分解 把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式. 因式分解的方法主要有: 提公因式法, 公式法, 分组分解法, 十字相乘法, 添、拆项法等. 要点提醒：落实好方法的综合运用： 首先提取公因式，然后考虑用公式； 两项平方或立方，三项完全或十字； 四项以上想分组，分组分得要合适； 几种方法反复试，最后须是连乘式； 因式分解要彻底，一次一次又一次. 【考点一】幂的运算 【例1】（2022春·江苏泰州·七年级校考期中）按要求解答下列问题： （1）已知，求的值； （2）已知n为正整数，且，求的值． 【答案】（1）；（2） 【分析】（1）由题意可求出．根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则可将所求式子变形为，最后整体代入求值即可； （2）根据幂的乘方和其逆用法则可将所求式子变形为，再将代入求值即可． （1）解：∵， ∴， ∴； （2）解： ． 【点拨】本题考查幂的混合运算，代数式求值．掌握幂的混合运算法则是解题关键． 【举一反三】 【变式1】（2023春·浙江温州·七年级校联考期中）下列运算中，计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用合并同类项的法则，同底数幂的乘法的法则，积的乘方的法则对各项进行运算即可． 解：A．与不属于同类项，不能合并，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项不符合题意； D、，故该选项符合题意； 故选：D． 【点拨】本题主要考查合并同类项，积的乘方，同底数幂的乘法，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． 【变式2】（2022秋·八年级单元测试）计算： ． 【答案】 【分析】首先根据同底数幂的乘法，积的乘方运算，进行运算，再进行整式的加减运算，即可求解． 解： 故答案为：． 【点拨】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方运算，整式的加减运算，熟练掌握和运用各运算法则是解决本题的关键． 【考点二】整式的乘除法运算 【例2】（2022秋·河南南阳·八年级统考阶段练习）某数学老师在黑板上写了一个正确的演算过程，随后用手掌捂住了多项式如下： ． （1）求所捂的多项式； （2）求所捂的多项式与的商； （3）当，时，求所捂的多项式的值． 【答案】（1）；（2）；（3）3 【分析】（1）根据题意列出整式相加减的式子，再去括号，合并同类项即可； （2）根据题意列出式子化简即可； （3）把，代入（1）中的式子即可． （1）解：； 所以所捂的多项式． （2）； （3）当，时， 原式 【点