北京师范大学附属实验中学2023-2024学年九年级上学期期中数学试题

北师大实验中学2023-2024学年度第一学期期中试卷 初三年级数学 考生须知 1．本试卷共8页，共3道大题，28道小题；答题纸共3页;满分100分;考试时间120分钟 2．在试卷和答题卡上准确填写班级、姓名、学号 3．试卷答案一律填写在答题卡上，在试卷上作答无效 4．在答题卡上，选择题须用2B铅笔将选中项涂黑涂满，其他试题用黑色字迹签字笔作答 命题人：张蓓、杨洁、王春华 审题人：杨洁 一、单项选择题（本题共8小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项最符合题意;每小题2分，共16分） 1. 抛物线的顶点坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 用配方法解方程，原方程应变（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，，是某社区的三栋楼，若在中点处建一个基站，其覆盖半径为200m，则这三栋楼中在该基站覆盖范围内的是（ ） A. ，，都不在 B. 只有 C. 只有， D. ，， 4. 已知点，，在抛物线上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，．将绕点沿逆时针方向旋转至的位置，此时，点恰好在上，则点与点的距离是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，在正三角形网格中，以某点为中心，将旋转，得到，则旋转中心是（ ） A 点A B. 点B C. 点C D. 点D 7. 如图，不等边内接于，下列结论不成立的是（ ） A. B. C. D. 8. 抛物线过和，且对称轴为直线．现有下面四个推断：①若，则；②若，则；③若，则；④存在实数，使得为定值．其中推断正确的是（ ） A. ①③ B. ①④ C. ①②③ D. ①③④ 二、填空题（共8道小题，每题2分，共16分） 9. 点关于原点的对称点的坐标为________． 10. 已知圆锥的底面半径长为5，侧面展开后得到一个半圆，则该圆锥的母线长为_________． 11. 若是一元二次方程的一个根，则的值为________． 12. 如图，与关于点成中心对称，，则的长是________． 13. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是________． 14. 如图，与直线相离，圆心到直线距离，，将直线绕点顺时针旋转后得到的直线刚好与相切于点，则的半径是________． 15. 如图，AB是半圆O的直径，点C，D在半圆O上．若∠ABC＝50°，则∠BDC的度数为______ °． 16. 矩形中，，，点是边上的一个动点，连接，的角平分线交边于点，若于点，连接、，则的最小值是________． 三、解答题（共12道小题，17，27，28题，每题7分，18~20，23，24题，每题5分，21题4分，22，25，26题，每题6分，共68分） 17. 选择合适的方法解方程： （1）； （2）． 18. 已知关于x的一元二次方程． （1）求证：此方程总有两个实数根； （2）若此方程恰有一个根小于，求k的取值范围． 19. 如图，是等边三角形内一点，将线段绕点顺时针旋转，得到线段，连接，． （1）求证：； （2）连接，若，求的度数． 20. 如图，是上的两点，是的中点，求证；四边形是菱形． 21. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点的坐标分别为，，． （1）将绕着点顺时针旋转得到，其中点与点对应，点与点对应，请在坐标系中画出，并写出点的坐标； （2）若点是内部任意一点，请直接写出这个点绕着点顺时针旋转得到的点的坐标． 22. 已知二次函数，它的图象过点，并且与轴交于点． （1）求二次函数的解析式和点坐标； （2）当时，结合函数图象，直接写出函数值的取值范围； （3）若直线也经过点，两点，直接写出关于的不等式的解集． 23. 已知：和圆外一点，求作：过点的的切线． 作法：①作射线，交于点，； ②以为圆心，为半径作，以为圆心，的长为半径画弧交于点； ③连接，，交于点； ④作直线． 所以直线为的切线． （1）使用直尺和圆规进行尺规作图，依作法补全图形（保留作图痕迹）； （2）完成下面的证明． 证明：，， ， ．（________________）（填推理的依据） 半径． 直线为的切线．（________________）（填推理的依据） 24. 某公司以每件50元的价格购进一种商品，规定销售时的单价不低于成本价，又不高于每件70元，在销售过程中发现这种商品每天的销售量（件）与每件的销售单价（元）满足一次函数关系：． （1）当时，每件的利润是________元，总利润为________元； （2）若设总利润为元，则与的函数关系式是________________； （3）销售单价定为多少元时，此时利润最大，最大利润是多少？ 25