数列微专题一：等差数列证明与应用 专题-2024届高三数学二轮复习

等差数列的证明与应用 【学习目标】1.掌握等差数列判定与证明的常用五种方法。 2.能用等差数列定义和等差中项证明等差数列。 【重点难点】 用等差数列定义和等差中项证明等差数列 【高考链接】 (2022年甲卷·第17题) (2022年Ⅰ卷第22题；函数综合) (2021年Ⅰ卷第17题) (2021年乙卷第19题) (2021年甲卷第18题) (2020年Ⅲ卷第17题，猜想归纳；目前为选学内容) 【方法回顾】 等差数列的判断与证明 方法 解读 适合题型 定义法 为同一常数 ⇔是等差数列 解答题中的证明问题 等差中项法 成立⇔是等差数列 通项公式法 为常数）对任意的正整数都成立 ⇔是等差数列 选择、填空题中的判定问题 前项和公式法 验证为常数）对任意的正整数都成立⇔是等差数列 数学归纳法 先求前几项猜想数列通项，然后归纳证明 少用，慎用 【学习过程】 一．课前热身：等差数列的判断 (1)【多选】已知数列{an}，{bn}均为无穷等差数列，则下列说法正确的是(　　) A. 数列{－an}是等差数列 B. 数列是等差数列 C. {an－bn}是等差数列 D. 若km≠0，则{kan＋mbn}为等差数列 (2) 【多选】设{an}是无穷数列，An＝an＋an＋1(n＝1，2，…)，则下列判断中，正确的有(　　) A. 若{an}是等差数列，则{An}是等差数列 B. 若{An}是等差数列，则{an}是等差数列 C. 若{an}是等差数列，则{a3n}是等差数列 D. 若{An}是等差数列，则{a2n}是等差数列 解：对于A，若{an}是等差数列，设公差为d，则An＝an＋an＋1＝a1＋(n－1)d＋a1＋nd＝2a1＋2nd－d，则n≥2时，An－An－1＝(2a1＋2nd－d)－[2a1＋2(n－1)d－d]＝2d，所以{An}是等差数列，故A正确； 对于B，若{An}是等差数列，设公差为d′，当n≥2时， An－An－1＝an＋an＋1－(an－1＋an)＝an＋1－an－1＝d′，即数列{an}的偶数项成等差数列，奇数项成等差数列，故B不正确，D正确；C显然正确. 故选ACD. (1)【多选题】(2020－2021学年江苏海头高中高二上月考)已知数列{an}，{bn}均为无穷等差数列，则下列说法正确的是(　　) A. 数列{－an}是等差数列 B. 数列是等差数列 C. {an－bn}是等差数列 D. 若km≠0，则{kan＋mbn}为等差数列 解：由等差数列概念知A对，B错，C对，D对. 故选ACD. 知识点一 定义法证明等差数列 例1. (2021年高考全国甲卷理科·第18题)已知数列的各项均为正数，记为的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立． ①数列是等差数列：②数列是等差数列；③． 注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分． 【答案】答案见解析 解析：选①②作条件证明③： 设，则， 当时，； 当时，； 因为也是等差数列，所以，解得； 所以，所以． 选①③作条件证明②： 因为，是等差数列， 所以公差， 所以，即， 因为， 所以是等差数列． 选②③作条件证明①： 设，则， 当时，； 当时，； 因为，所以，解得或； 当时，，当时，满足等差数列的定义，此时为等差数列； 当时，，不合题意，舍去． 综上可知为等差数列． 练习1. (2021年Ⅰ卷·第17题)已知数列满足， (1)记，写出，，并求数列的通项公式； (2)求的前20项和． 【答案】；． 解析:(1)由题设可得 又，，故即即 所以为等差数列，故． 【解析】：（1）因为，， 所以，，， 所以，， ， 所以数列是以为首项，以3为公差的等差数列， 所以． (2)设的前项和为，则， 因为， 所以 ． 练习2. (2022·烟台模拟)已知在数列{an}中，a1＝1，an＝2an－1＋1(n≥2，n∈N*)，记bn＝log2(an＋1)． (1)判断{bn}是否为等差数列，并说明理由； (2)求数列{an}的通项公式． 解　(1){bn}是等差数列，理由如下： b1＝log2(a1＋1)＝log22＝1， 当n≥2时，bn－bn－1＝log2(an＋1)－log2(an－1＋1) ＝log2＝log2＝1， ∴{bn}是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)知，bn＝1＋(n－1)×1＝n， ∴an＋1＝＝2n， ∴an＝2n－1. 思维升华　判断数列{an}是等差数列的常用方法 (1)定义法：对任意n∈N*，an＋1－an是同一常数． (2)等差中项法：对任意n≥2，n∈N*，满足2a