湖南省长沙市第一中学2024届高三上学期月考(四)数学试题

长沙市一中2024届高三月考试卷（四） 数学 一、选择题（本大题共8个小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知集合，，则集合等于（ ） A. ； B. ； C. ； D. ． 2. 已知平面向量，则与方向相同的单位向量是（ ） A. B. C. D. 3. 第19届亚运会正在杭州举行，运动员甲就近选择A餐厅或者B餐厅就餐，第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.5，运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（ ） A. 0.75 B. 0.6 C. 0.55 D. 0.45 4. 函数的部分图象如图所示，下列说法不正确的是（ ） A. 函数的图象关于点对称 B. 函数的图象关于直线对称 C. 函数在单调递减 D. 该图象向右平移个单位可得的图象 5. 若与轴相切的圆与直线也相切，且圆经过点，则圆的半径为（ ） A. 1 B. C. 或 D. 1或 6. 若函数是偶函数，则的最小值为（ ） A. 4 B. 2 C. D. 7. 已知函数，，，若，图像上分别存在点M，N关于直线对称，则实数的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在四棱锥中，底面是正方形，，侧棱底面，是的中点，是内的动点，，则的轨迹长为（ ） A. B. C. D. 二、选择题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9. “杨辉三角”是二项式系数在三角形中的一种几何排列，中国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》一书中就有出现，比欧洲早393年发现.如图所示，在“杨辉三角”中，除每行两边的数都是1外，其余每个数都是其“肩 上”的两个数之和，例如第4行的6为第3行中两个3的和.则下列命题中正确的是（ ） A. 由“在相邻两行中，除1以外的每个数都等于它肩上的两个数字之和”猜想 B. 由“第行所有数之和为”猜想： C. 第20行中，第10个数最大 D. 第15行中，第7个数与第8个数的比为7：9 10. 设等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且，，，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. 的最大值为 D. 的最大值为 11. 如图，等边三角形的边长为4，为边的中点，于.将沿翻折至的位置，连接.那么在翻折过程中，下列说法当中正确的是（ ） A. B. 四棱锥的体积的最大值是 C. 存在某个位置，使 D. 在线段上，存在点满足，使定值 12. 已知双曲线：，点为双曲线右支上一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则下列说法正确的是（ ） A. 双曲线的离心率为 B. 存在点，使得四边形正方形 C. 直线，的斜率之积为2 D. 存在点，使得 三、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分） 13. 已知角的终边过点，且，则___________. 14. 已知圆台的上、下底面直径分别为2和4，高为1，则该圆台外接球的表面积为__________. 15. 设为抛物线焦点，，，为该抛物线上不同的三点，若，为坐标原点，则___________. 16. 函数的值域为__________. 四、解答题（本大题共6个小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 在平面四边形ABCD中，，，． （1）若的面积为，求AC； （2）若，，求． 18. 某电视台为了解不同性别的观众对同一档电视节目的评价情况，随机选取了100名观看该档节目的观众对这档电视节目进行评价，已知被选取的观众中“男性”与“女性”的人数之比为，评价结果分为“喜欢”和“不喜欢”，并将部分评价结果整理如下表所示. 评价 性别 喜欢 不喜欢 合计 男性 15 女性 合计 50 100 （1）根据所给数据，完成上面的列联表； （2）依据独立性检验，能否认为性别因素与评价结果有关系？ （3）电视台计划拓展男性观众市场，现从参与评价的男性中，按比例分层抽样的方法选取3人，进行节目“建言”征集奖励活动，其中评价结果为“不喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，评价结果为“喜欢”的观众“建言”被采用的概率为，“建言”被采用奖励100元，“建言”不被采用奖励50元，记3人获得的总奖金为X，求X的分布列及数学期望. 附： 0.010 0.005 0.001 6.635 7.879 10.828 19. 已知等差数列的前项和为，，为整数，且.