精品解析：上海市奉贤区四校联考2023-2024学年高二上学期期中数学试题

2023学年第一学期期中考试 高二数学 试卷 （时间：120分钟，分值：150分） 一、填空题（24+30=54分） 1. 不等式的解集是__． 2. 已知集合，，则___________. 3. 已知向量，则_________. 4. 若方程的两个实数根为，则=______. 5. 如果都是实数，关于的方程有一个根，则_______ 6. 设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则两点间的距离为_________． 7. 已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，圆锥底面周长为，则这个圆锥的表面积为___________. 8. 在空间直角坐标系中给定点，则该点关于坐标平面的对称点的坐标为_________． 9. 有一个空心钢球，质量为，测得外直径为5，则它的内直径是________（钢的密度为7.9，精确到0.1） 10. 一张A4纸的规格为：，把它作为一个圆柱的侧面．则卷成的圆柱体体积为_________．（结果精确到） 11. 如图，用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，得到一个小圆锥．如果这两个圆锥的高分别是，求这两个圆锥的底面面积之比为_________． 12. 如图，为正方体，动点在对角线上，记．当为钝角时，的取值范围为________． 二、选择题（4+4+5+5=18分） 13. 下列命题中，是真命题的选项为（ ） A. 平行于同一条直线的两个平面平行 B. 若两个平面分别经过两条平行直线，则这两个平面平行 C. 分别在两个平行平面上的两条直线平行 D. 与两条异面直线都平行的两个平面平行． 14. 下列命题正确是（ ） A. 以直角三角形一直角边为轴旋转所形成的旋转体是圆锥 B. 以直角梯形的一腰为轴旋转所形成的旋转体是圆台 C 圆柱、圆锥、圆台都有两个底面 D. 圆锥的侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥底面圆的半径 15. 如图，设正方体的棱长为．则顶点到面的距离为（ ） A. B. C. D. 16. 若两异面直线所成的角为，过空间内一点作与直线所成角均为的直线，则所作直线的条数为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 三、解答题（14+14+14+18+18=78分） 17. 求实数的值或取值范围，使得复数分别是： （1）纯虚数； （2）0 18. （1）已知一元二次不等式的解集为，求不等式的解集． （2）若关于的不等式的解集为，求实数的取值范围． 19. 已知向量与的夹角为，且． （1）求； （2）求在方向上的投影与数量投影． 20. 如图，正方体中， （1）求异面直线与所成的角的大小； （2）求证：； （3）设分别是给定正方体的棱和上的任意点．求证：三棱锥的体积是定值． 21. 如图，用一块钢锭浇筑一个厚度均匀，且表面积为2平方米的正四棱锥形有盖容器，设容器的高为h米，盖子的边长为a米． （1）求a关于h的函数解析式； （2）当h为何值时，容器容积V最大？并求出V的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023学年第一学期期中考试 高二数学 试卷 （时间：120分钟，分值：150分） 一、填空题（24+30=54分） 1. 不等式的解集是__． 【答案】 【解析】 【分析】将原不等式转化为一元二次不等式求解. 【详解】原不等式 与不等式 同解，故有 ； 故答案为： . 2. 已知集合，，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】 由题意可得和的交集为方程组的解. 【详解】由得解为， 根据题意可得：， 故答案为： 3. 已知向量，则_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据平面向量得夹角的坐标表示计算即可. 【详解】由， 得， 所以. 故答案为：. 4. 若方程的两个实数根为，则=______. 【答案】3 【解析】 【分析】由题意可得一元二次方程根与系数的关系式，利用该关系式代入求解即可． 【详解】方程的两个实数根为， 由韦达定理可得，， ∴， 故答案为：3． 5. 如果都是实数，关于的方程有一个根，则_______ 【答案】 【解析】 【分析】根据实系数方程根的特征可知为方程另一根，利用韦达定理可构造方程组求得，进而求解. 【详解】因为为关于的方程的一个根， 所以为关于方程的一个根， 所以，解得，， 所以. 故答案为：. 6. 设复数和复数在复平面上分别对应点和点，则两点间的距离为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据复数对应的点，应用两点间距离公式求解即可. 【详解】复数对应点,复数对应点， 则. 故答案为：. 7. 已知圆锥侧面展开图中扇形的中心角为，圆锥底面周长为，则这个圆锥的表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】利