圆锥曲线微专题一：圆锥曲线中的非对称韦达问题 专题-2024届高三数学二轮复习

圆锥曲线中的非对称韦达问题 例题1.（2023新高考二卷21）已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于两点，在第二象限，直线与交于点．证明:点在定直线上. 例题2.（2020全国一卷20）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，．为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为． （1）求的方程； （2）证明：直线过定点． 例题3.(2022·漳州模拟)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的点为M(x，y)，且z满足|z＋2|－|z－2|＝2，点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)设A(－1,0)，B(1,0)，若过F(2,0)的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R.证明： (ⅰ)点R在定直线上； (ⅱ)若直线AQ与BP交于点S，则RF⊥SF. 变式训练： 1．已知椭圆E：的离心率是，，分别为椭圆E的左右顶点，B为上顶点，的面积为直线l过点且与椭圆E交于P，Q两点． 求椭圆E的标准方程； 求面积的最大值； 设直线与直线交于点N，证明：点N在定直线上，并写出该直线方程． 2．已知椭圆的离心率为，短轴长为． （1）求椭圆C的方程； （2）设A，B分别为椭圆C的左、右顶点，若过点且斜率不为0的直线l与椭圆C交于M、N两点，直线AM与BN相交于点Q．证明：点Q在定直线上． 3．已知椭圆:的长轴长为4，左、右顶点分别为，经过点的动直线与椭圆相交于不同的两点（不与点重合）. （1）求椭圆的方程及离心率； （2）求四边形面积的最大值； （3）若直线与直线相交于点，判断点是否位于一条定直线上？若是，写出该直线的方程. 例题1.（2023新高考二卷21）21. 已知双曲线的中心为坐标原点，左焦点为，离心率为． （1）求的方程； （2）记的左、右顶点分别为，过点的直线与的左支交于两点，在第二象限，直线与交于点．证明:点在定直线上. 【思路分析】（1）由题意求得的值即可确定双曲线方程； （2）设出直线方程，与双曲线方程联立，然后由点的坐标分别写出直线与的方程，联立直线方程，消去，结合韦达定理计算可得，即交点的横坐标为定值，据此可证得点在定直线上. 【解析】【小问1详解】 设双曲线方程为，由焦点坐标可知， 则由可得，， 双曲线方程为. 【小问2详解】 【解法1】由(1)可得，设， 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则， 直线的方程为，直线的方程为， 联立直线与直线的方程可得： ， 由可得，即， 据此可得点在定直线上运动. 【解法2】 由(1)可得，设， 由作图的对称性可知，点在垂直轴的直线上。连接,自点向轴作垂线,垂足是。容易知道 不妨设的斜率分别是 显然直线的斜率不为0，所以设直线的方程为，且， 与联立可得，且， 则， 即 解得 所以点在定直线上运动. 例题2.（2020全国一卷20）已知，分别为椭圆的左、右顶点，为的上顶点，．为直线上的动点，与的另一交点为，与的另一交点为． （1）求的方程； （2）证明：直线过定点． 1.（1）求出，解出，求出的方程即可； （2）法一：联立直线和椭圆的方程求出，的坐标，求出直线的方程，判断即可． 法二：设直线CD，求解交点P（非对称处理） 【解析】：如图示： （1）由题意，，， ，，，解得：， 故椭圆的方程是； （2）由（1）知，，设， 则直线的方程是， 联立， 由韦达定理， 代入直线的方程为得：，即，， 直线的方程是， 联立方程， 由韦达定理， 代入直线的方程为得，即，， 直线的斜率， 直线的方程是，整理得：， 故直线过定点，． 例3.(2022·漳州模拟)已知复数z＝x＋yi(x，y∈R)在复平面内对应的点为M(x，y)，且z满足|z＋2|－|z－2|＝2，点M的轨迹为曲线C. (1)求C的方程； (2)设A(－1,0)，B(1,0)，若过F(2,0)的直线与C交于P，Q两点，且直线AP与BQ交于点R.证明： (ⅰ)点R在定直线上； (ⅱ)若直线AQ与BP交于点S，则RF⊥SF. (1)解　由题意可知，－＝2， 所以点M到点F1(－2,0)与到点F2(2,0)的距离之差为2，且2<|F1F2|＝4， 所以动点M的轨迹是以F1，F2为焦点的双曲线的右支，设其方程为－＝1(x≥a，a>0，b>0)，其中2a＝2,2c＝4，所以a＝1，c＝2，所以b2＝c2－a2＝3，方程为x2－＝1(x≥1)． (2)证明　(ⅰ)设直线PQ的方程为x＝ty＋2，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，其中x1>1，x2>1. 联立消去x，可得(3t2－1)y2＋12ty＋9＝0， 3t2－1≠0且Δ＝144t2－36(3t2－1)＝36(t2＋1)>0，所以y1＋y2＝，