精品解析：上海市位育中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

位育中学2023学年第一学期高一年级 数学期中 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1. 已知，，则__________. 2. 被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为__________. 3. 不等式解集为______________________． 4. 化简（其中）__________. 5. 命题“若，则”是真命题，实数a的取值范围是__________. 6. 已知，若关于的方程解集为，则的值为_________. 7. 若关于不等式解集为，则关于的不等式的解集为__________. 8. 若x1，x2都满足方程 且 ，则 的取值范围是 _____． 9. 设，，若、的几何平均值为（是自然对数的底数），则、的算术平均值的最小值为__________. 10 已知实数，，满足，以及，则______. 11. 设集合，若非空集合同时满足：①，②，（其中表示中元素的个数，表示集合中最小的元素）称集合为的一个好子集，则的所有好子集的个数为______. 12. 已知a＞b，关于x的不等式对于一切实数x恒成立，又存在实数，使得成立，则最小值为_________． 二、选择题（本大题共有4题，满分16分） 13. 下列各式中，正确的个数是（ ） （1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）. A 1 B. 2 C. 3 D. 4 14. 若，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 15. 已知均为非零实数，则“”是“关于的不等式与解集相同”的 ． A. 充分非必要条件 B. 必要非充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 16. 设，若关于x的不等式的解集中的整数解恰有3个，则（ ）． A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分42分） 17. 已知方程有两个不同实根，，令，，试比较，的大小. 18. 已知集合，. （1）当时，求； （2）若，求实数取值范围. 19. （1）用反证法证明：对任意的，关于的方程与至少有一个方程有实根； （2）若不等式对于一切实数都成立，求实数的取值范围. 20. 如图所示，将一个矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求M在射线AB上，N在射线AD上，且对角线MN过C点已知米，米，设AN的长为米 （1）要使矩形AMPN的面积大于54平方米，则AN的长应在什么范围内？ （2）求当AM，AN的长度分别是多少时，矩形花坛AMPN的面积最小，并求出此最小值； 21. 定义为个实数中的最小数，为个实数中的最大数. （1）设，都是正实数，且，求； （2）设，都是正实数，求的最小值. 附加题（5分+5分分；实验班必做，其他班选做） 22. 设全集，对其子集引进“势”的概念：①空集的“势”最小；②非空子集的元素越多，其“势”越大；③若两个子集的元素个数相同，则子集中最大的元素越大，子集的“势”就越大，最大的元素相同，则第二大的元素越大，子集的“势”就越大，依次类推．若将全部的子集按“势”从小到大的顺序排列，则排在第12位的子集是___． 23. 方程的两根、，满足，则___________ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 位育中学2023学年第一学期高一年级 数学期中 一、填空题（本大题共有12题，满分42分，第1-6题每题3分，第7-12题每题4分） 1. 已知，，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】应用并集定义计算即可. 【详解】，， 故答案为: . 2. 被4除余3的所有自然数组成的集合用描述法可表示为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合集合的表示方法，即可求解. 【详解】根据集合的表示方法，可得被4除余3的所有自然数组成的集合为. 故答案为：. 3. 不等式的解集为______________________． 【答案】或 【解析】 【分析】将题设分式不等式转化为，求解集即可. 【详解】由得：． 故，解得或. 故答案为：或 4 化简（其中）__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据指数幂的运算法则和运算性质，准确运算，即可求解. 【详解】根据指数幂的运算法则，可得. 故答案为：. 5. 命题“若，则”是真命题，实数a的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用充分条件的概念和集合间的包含关系即可求解. 【详解】由题意得，是的充分条件， 由可得或， 从而或， 从而. 故数a的取值范围是. 故答案为：. 6. 已知，若关于的方程解集为，则的值为_________. 【答案】 【解析】 【分析】结合题意，先令方程等号左