第六章 1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

1.3　简单旋转体——球、圆柱、圆锥和圆台 [学习目标]　1.利用实物模型观察空间图形，了解球、圆柱、圆锥、圆台的定义．　2.掌握球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征，能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构． 知识点一　球 请回答以下问题： 1．观察下列实物图． (1)上述三个实物图抽象出的几何体与多面体有何不同？ (2)上述实物图抽象出的几何体中的曲面能否由某些平面图形旋转而成？ (3)如何形成上述几何体的曲面？ 提示：(1)它们不是由平面多边形围成的． (2)可以由某些平面图形旋转而成． (3)上述几何体可分别由半圆、直角梯形、直角三角形以适当的一边所在直线为轴旋转而成． 2．从旋转的角度分析，球面是由什么图形绕哪条直线旋转而成的？ 提示：球面是由半圆绕直径所在的直线旋转而成的曲面． 1．旋转体 (1)概念：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转一周所形成的曲面称为旋转面，封闭的旋转面围成的几何体称为旋转体． (2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球． 2．球 旋转体 定义 图形及表示 相关概念 性质 球 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转一周所形成的曲面称为球面．球面所围成的几何体称为球体，简称球 图中球表示为球O 球心：半圆的圆心； 半径：连接球心和球面上任意一点的线段； 直径：连接球面上两点并且过球心的线段 (1)球面上所有的点到球心的距离都等于球的半径； (2)用任何一个平面去截球面，得到的截面都是圆，其中过球心的平面截球面得到的圆的半径最大，等于球的半径. [微提醒]　球面与球是两个不同的概念，球面是半圆以它的直径所在直线为轴旋转一周形成的曲面，也可以看作与定点(球心)的距离等于定长(半径)的所有点的集合．而球不仅包括球的表面，同时还包括球面所包围的空间． 在球心同侧有相距9 cm的两个平行截面，它们的面积分别为49π cm2和400π cm2，求这个球的半径． 解析：如图所示为球的轴截面，由球的截面性质知，AO1∥BO2，且O1，O2分别为两截面圆的圆心，则OO1⊥AO1，OO2⊥BO2.设球的半径为R cm， 因为π·O2B2＝49π，所以O2B＝7 cm． 同理，π·O1A2＝400π，所以O1A＝20 cm， 设OO1＝x cm，则OO2＝(x＋9) cm， 在Rt△OO1A中，R2＝x2＋202，在Rt△OO2B中，R2＝(x＋9)2＋72， 所以x2＋202＝72＋(x＋9)2， 解得x＝15，所以R2＝x2＋202＝252，所以R＝25，即这个球的半径为25 cm． 学生用书↓第149页 方法技巧 1．有关球的截面问题，常画出过球心的截面圆，将问题转化为平面中圆的有关问题． 2．球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r有如下关系：r＝.如图． 即时练1.(多选)下列命题中正确的是(　　) A．过球面上任意两点只能作一个经过球心的圆 B．球的任意两个经过球心的圆的交点的连线是球的直径 C．用不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面 D．球是与定点的距离等于定长的所有点的集合 BC　[对于A中，当过球的直径的两个端点时，可以作无数个过球心的圆，所以A错误；对于B中，根据球的定义知，过球心的截面圆为大圆，两个大圆的交线必为球的直径，所以B正确； 对于C中，根据球的截面圆的性质，可得不过球心的截面截球，球心和截面圆心的连线垂直于截面，所以C正确；对于D中，根据球的定义，球是在空间中与定点的距离小于或等于定长的所有点的集合，所以D错误．故选BC．] 即时练2.两平行平面截半径为5的球，若截面面积分别为9π和16π，则这两个平面间的距离是________． 解析：由已知得，两个截面圆半径分别为3和4，如图1所示，两个平行平面在球心同侧， 则CD＝－＝4－3＝1； 如图2所示，两个平行截面在球心两侧，则CD＝＋＝4＋3＝7. 答案：1或7 知识点二　圆柱、圆锥、圆台 请回答以下问题： 1．如图所示的空间几何体叫作圆柱，那么圆柱是怎样形成的呢？ 提示：以矩形的一边所在直线为旋转轴，其余三边旋转一周形成的面所围成的几何体叫作圆柱． 2．将一个直角三角形以它的一条直角边为轴旋转一周，那么其余两边旋转形成的面所围成的几何体是一个什么样的空间图形？你能画出其大致图形吗？一个直角梯形以垂直于底边的腰为轴旋转一周，那么其余各边旋转形成的面所围成的几何体是什么图形？ 提示：以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的几何体叫作圆锥．大致图形如图所示： 一个直角梯形以垂直于底边的腰为轴旋转一周，那么其余各边旋转形成的面所围成的几何体叫作圆台． 名称 定义 相关概念 图形表示 性质 圆柱 以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一