第一章 三角函数章末综合提升-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

章末综合提升 学生用书↓第50页 素养一　数学运算 数学运算主要包括：理解运算对象，掌握运算法则，探究运算思路，选择运算方法，设计运算程序，求得运算结果等．本章中体现在利用三角函数的定义求值、利用三角函数的诱导公式化简与求值等． 体现1　扇形的面积公式与弧长公式的应用 (多选)如图，A，B是单位圆上的两个质点，点B 的坐标为(1，0)，∠BOA＝60°，质点A 以1 rad/s的角速度按逆时针方向在单位圆上运动，质点B 以2 rad/s的角速度按顺时针方向在单位圆上运动，则下列结论正确的是(　　) A．经过1 s后，∠BOA的弧度数为＋3 B．经过 s后，扇形AOB的弧长为 C．经过 s后，扇形AOB的面积为 D．经过 s后，A，B在单位圆上第一次相遇 ABD　[经过1 s后，质点A运动1 rad，质点B运动2 rad，此时∠BOA的弧度数为＋3，故A正确；经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的弧长为×1＝，故B正确；经过 s后，∠AOB＝＋＋2×＝，故扇形AOB的面积为S＝××12＝，故C不正确；设经过t s后，A，B在单位圆上第一次相遇，则t(1＋2)＋＝2π，解得t＝ s，故D正确．故选ABD．] 体现2　诱导公式的应用 已知角α的终边经过单位圆上的点P. (1)求sin α的值； (2)求·的值． 解析：(1)因为点P在单位圆上，所以由正弦的定义得sin α＝－. (2)原式＝·＝＝， 由余弦的定义得cos α＝，故原式＝. 素养二　直观想象 直观想象素养在本章中主要体现在三角函数图象的识别，利用图象求解析式以及三角函数图象的应用等方面． 体现3　利用图象求解析式 (2021·全国甲卷)已知函数f (x)＝2cos(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则f等于________． 解析：法一(五点作图法)：由题图可知T＝－＝(T为f (x)的最小正周期)，即T＝π，所以＝π，即ω＝2，故f (x)＝2cos(2x＋φ)．点可看作“五点作图法”中的第二个点，故2×＋φ＝，得φ＝－，即f (x)＝2cos. 所以f＝2cos＝－. 法二(代点法)：由题意知，T＝－＝(T为f (x)的最小正周期)，所以T＝π，＝π，即ω＝2.又点在函数f (x)的图象上，所以2cos＝0，所以2×＋φ＝＋kπ(k∈Z)，是f (x)减区间内的零点，所以令k＝0，则φ＝－，所以f (x)＝2cos，所以f＝2cos＝－2cos＝－. 答案：－ 体现4　三角函数图象的应用 已知函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图． (1)求函数f (x)的解析式，并写出它的对称中心； (2)求函数f (x)的最小值，并求取最小值时x的集合； (3)若函数f (x)的图象向右平移m(m>0)个单位长度得到一偶函数的图象，求m的最小值． 解析：(1)由图象知T＝4＝4π， 所以ω＝＝＝， 所以f (x)＝Asin. 又由图象知f＝0，f (0)＝， 所以 由①得－＋φ＝kπ，k∈Z，所以φ＝kπ＋，k∈Z. 又φ∈，所以φ＝. 将φ＝代入②得Asin＝，所以A＝2. 所以f (x)＝2sin， 令x＋＝kπ，k∈Z，得x＝2kπ－，k∈Z， 所以它的对称中心为，k∈Z. (2)由f (x)＝2sin知f (x)min＝－2， 此时x＋＝－＋2kπ，k∈Z， 即x＝－＋4kπ，k∈Z.所以f (x)取最小值时x的集合为{x|x＝－＋4kπ，k∈Z}． (3)f (x)＝2sin向右平移m个单位长度得到y＝f (x－m)为偶函数，即函数图象关于y轴对称，即f (x－m)＝2sin＝2sin， 所以－＋＝kπ＋，k∈Z，所以m＝－2kπ－，k∈Z. 由于m>0，所以当k＝－1时，m＝.所以m的最小值为. 学生用书↓第51页 素养三　逻辑推理 逻辑推理素养在本章中主要体现在三角函数图象的变换和性质的应用方面． 体现5　三角函数性质的应用 已知函数f＝2sin(ω>0)的最小正周期为π． (1)求ω的值； (2)将函数f (x)的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数g(x)的图象，求g(x)的单调区间． 解析：(1)由题意，知T＝＝＝π，所以ω＝1. (2)由(1)知f＝2sin，将函数f (x)的图象向左平移个单位长度后，得到函数y＝2sin＝2sin的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短到原来的(纵坐标不变)，得到函数g＝2sin的图象， 由－＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ，得－≤x≤－； 由＋2kπ≤4x＋≤＋2kπ，得－≤x≤＋，故函数g(x)的单调递增区间为，单调递减区间为. 素养四　数学建模 数学建模素养在本章中主要表现在三角函数的实际应用中，关键是构建三角函数模型，然后利用模型解决实际问题．