第一章 培优增分2 函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)的图象与性质是常考的问题之一，通常考查五点作图法和图象的变化以及性质的应用，在解决问题时，常用“整体代换”的方法． 一、三角函数图象的判断 已知函数f＝2xcos x，则函数f的部分图象可以为(　　) A　[因为f的定义域为R，且f＝2cos＝－2xcos x＝－f， 所以f为奇函数，故BD错误；当x>0时，令f＝2xcos x＝0，易得cos x＝0，解得x＝＋kπ，故易知f的图象在y轴右侧的第一个交点为，又f＝2××cos＝>0，故C错误，A正确．故选A．] 　　方法技巧 识别函数图象的方法技巧 函数图象的识别可从以下方面入手： 1．从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置． 2．从函数的单调性，判断图象的变化趋势． 3．从函数的奇偶性，判断图象的对称性． 4．从函数的周期性，判断图象的循环往复． 5．从函数的特殊点，排除不合要求的图象． 即时练1.函数y＝ln＋cos x的大致图象是(　　) C　[根据题意，设f＝ln＋cos x，其定义域为，则f＝ln|x|＋cos x＝f，y＝ln＋cos x为偶函数，排除BD，在区间上，ln |x|>1，－1≤cos x≤1，则f>0，排除A．故选C．] 二、已知三角函数f (x)＝Asin(ωx＋φ)图象求解析式 (2023·安徽亳州期末)已知函数f＝Ksin的部分图象如图所示，点A，B，则将函数f图象向左平移个单位长度，然后横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，得到的图象对应的函数解析式是(　　) A．y＝sin B．y＝sin C．y＝sin D．y＝sin C　[因为函数f的部分图象经过点A，B，所以K＝1，f＝sin＝，f＝sin＝－1，0<ω<10，<，解得ω＝4，φ＝，所以f＝sin. 将函数f＝sin的图象向左平移个单位长度得y＝sin＝sin，然后横坐标变为原来的2倍、纵坐标不变，得到y＝sin的图象．故选C．] 　　方法技巧 确定y＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0)的解析式的步骤 第一步：求A，B，确定函数的最大值M和最小值m，则A＝，B＝； 第二步：求ω，确定函数的周期T，则ω＝； 第三步：求φ，常用方法有： (1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入； (2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口．具体如下：“第一点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝0；“第二点”(即图象的“峰点”)为ωx＋φ＝；“第三点”(即图象下降时与x轴的交点)为ωx＋φ＝π；“第四点”(即图象的“谷点”)为ωx＋φ＝；“第五点”(即图象上升时与x轴的交点)为ωx＋φ＝2π． 即时练2.智能降噪采用的是智能宽频降噪技术，立足于主动降噪原理，当外界噪音的声波曲线为y＝Asin(ωx＋φ)时，通过降噪系统产生声波曲线y＝－Asin(ωx＋φ)将噪音中和，达到降噪目的．如图，这是某噪音的声波曲线y＝Asin(ωx＋φ)的一 学生用书↓第48页 部分，则可以用来智能降噪的声波曲线的解析式为(　　) A．y＝2sin B．y＝2sin C．y＝2cos D．y＝2cos C　[由图可知，A＝2，噪音的声波曲线的最小正周期T＝＝2×＝π，则ω＝2. 因为噪音的声波曲线过点，所以＋φ＝＋2kπ，k∈Z，则φ＝－＋2kπ，k∈Z.又|φ|<，所以φ＝－，即噪音的声波曲线为y＝2sin，则可以用来智能降噪的声波曲线为y＝－2sin＝2cos.故选C．] 三、三角函数图象的变换 (1)为了得到函数y＝2sin 3x的图象，只要把函数y＝2sin图象上所有的点(　　) A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 (2)把函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把所得曲线向右平移个单位长度，得到函数y＝sin的图象，则f (x)＝(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin (1)D　(2)B　[(1)因为y＝2sin 3x＝2sin，所以把函数y＝2sin图象上的所有点向右平移个单位长度即可得到函数y＝2sin 3x的图象．故选D． (2)法一：函数y＝f (x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到y＝f (2x)的图象，再把所得曲线向右平移个单位长度，应当得到y＝f的图象，根据已知得到了函数y＝sin的图象，所以f＝sin，令t＝2，则x＝＋，x－＝＋，所以f＝sin，所以f＝sin.故选B． 法二：由已知的函数y＝sin逆向变换， 第一步：向左平移个单位长度， 得到y＝sin＝sin的图象， 第二