第一章 6.3　探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

6．3　探究A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 [学习目标]　1.结合具体实例，了解y＝Asin(ωx＋φ)的实际意义．　2.能借助图象了解参数A的意义．　3.了解参数A对函数图象的影响． 知识点一　A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 请回答以下问题： 1．借助多媒体，在同一坐标下画出y＝sin和y＝3sin的图象，如图所示，你能发现什么？ 提示：可以发现对于同一x值，y＝3sin的图象上的点的纵坐标总是等于y＝sin的图象上对应点纵坐标的3倍． 2．函数y＝3sin＋1与函数y＝sin的图象有什么不同？ 提示：可以发现对于同一x值，y＝3sin＋1的图象上的点的纵坐标总是等于y＝sin的图象上对应点纵坐标的3倍再加1，即y＝3sin＋1的图象由函数y＝3sin的图象向上平移1个单位得到． A对y＝Asin(ωx＋φ)的图象的影响 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0)的图象是将y＝sin(ωx＋φ)的图象上的每个点的纵坐标伸长(当A＞1时)或缩短(当0＜A＜1时)到原来的A倍(横坐标不变)得到的．A决定了函数y＝Asin(ωx＋φ)的值域以及函数的最大值和最小值，通常称A为振幅． [微提醒]　当A＞0时，函数y＝Asin(ωx＋φ)的最大值和最小值分别是函数y＝sin(ωx＋φ)的最大值与最小值的A倍． (1)将函数y＝sin x的图象向左平移个单位，横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数解析式为(　　) A．y＝3sin　　　 B．y＝sin C．y＝3sin D．y＝3sin (2)函数y＝sin图象上所有点的横坐标保持不变，将纵坐标____________(填“伸长”或“缩短”)为原来的____________倍，将会得到函数y＝3sin的图象． 解析：(1)向左平移个单位得：y＝sin，横坐标扩大到原来的2倍得：y＝sin，纵坐标扩大到原来的3倍得：y＝3sin.故选C． (2)A＝3＞1，故函数y＝sin图象上所有点的横坐 标保持不变，将纵坐标伸长为原来的3倍即可得到函数y＝3sin的图象． 答案：(1)C　(2)伸长　3 　　方法技巧 在研究A(A>0)对y＝Asin(ωx＋φ)图象的影响时，由y＝sin(ωx＋φ)纵坐标(横坐标不变)变成原来的A倍即可得到y＝Asin(ωx＋φ)． 即时练1.将函数y＝cos的图象上各点向右平移个单位长度，再把横坐标缩短为原来的一半，纵坐标伸长为原来的4倍，则所得到的图象的函数解析式是(　　) A．y＝4cos B.y＝sin C．y＝4cos D．y＝－sin C　[将函数y＝cos的图象上各点向右平移个单位长度，得到y＝cos＝cos，再把横坐标缩短为原来的一半，得到y＝cos，再把纵坐标伸长为原来的4倍，得到y＝4cos.故选C．] 学生用书↓第35页 知识点二　 函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质 请回答以下问题： 1．用“五点法”作函数y＝sin x的图象时，找哪五个关键点？ 提示：(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)． 2．你能用正弦函数y＝sin x的性质类比三角函数y＝Asin(ωx＋φ)的性质吗？ 提示：可以，利用整体代换的思想，当A>0，ω>0时，用ωx＋φ整体代换正弦函数中的x即可． 1．探究函数y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，x∈R)的性质的一般步骤 第1步：确定周期T＝； 第2步：在y＝sin x五个关键点(0，0)，，(π，0)，，(2π，0)的基础上确定该函数的五个关键点； 第3步：用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出函数y＝Asin(ωx＋φ)在一个周期上的图象，再利用其周期性把图象延拓到R，就可以得到它在R上的图象； 第4步：借助图象讨论性质． 2．函数y＝Asin(ωx＋φ)，A>0，ω>0的有关性质 名称 性质 定义域 R 值域 [－A，A] 续表 名称 性质 周期性 T＝ 对称性 对称中心 对称轴 x＝＋ 奇偶性 当φ＝kπ(k∈Z)时是奇函数；当φ＝kπ＋(k∈Z)时是偶函数 单调性 递增区间由2kπ－ ≤ωx＋φ≤2kπ＋(k∈Z)求得； 递减区间由2kπ＋ ≤ωx＋φ≤2kπ＋π(k∈Z)求得 [微提醒]　在求函数y＝Asin(ωx＋φ)的基本性质时，应注意将ωx＋φ看作一个整体，即整体代换． 已知函数f (x)＝2sin，x∈R. (1)运用五点作图法作出f (x)在x∈内的简图； (2)该函数的图象可由y＝sin x(x∈R)的图象经过怎样的平移和伸缩变换得到？ (3)求函数f (x)的对称轴、对称中心和单调递增区间． 解析：(1)列表： x＋ 0 π 2π x － 2sin 0 2 0 －2