第一章 4.2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质-【金版新学案】2023-2024学年新教材高一数学必修第二册 同步课堂高效讲义教师用书（北师大版2019）

4．2　单位圆与正弦函数、余弦函数的基本性质 [学习目标]　1.理解正弦函数值、余弦函数值的符号．　2.会利用单位圆探究正弦函数、余弦函数的基本性质．　3.能利用正弦函数、余弦函数的基本性质解决问题． 知识点一　正弦函数、余弦函数的基本性质 请回答以下问题： 过山车是一种具有刺激性的娱乐项目．那种风驰电掣、有惊无险的快感令不少人着迷．过山车的运动包含了许多物理学原理，人们在设计过山车时巧妙地运用了这些原理．如果能亲身体验一下由能量守恒、加速度和力交织在一起产生的效果，那感觉真是妙不可言．一个基本的过山车构造中，包含了爬升、滑落、倒转，几个循环路径． 1．正弦函数与余弦函数也像过山车一样“爬升”、“滑落”，这是正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 提示：单调性． 2．过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，然后再爬升，对应正弦函数、余弦函数的哪些性质？ 提示：过山车爬升到最高点，然后滑落到最低点，对应正弦函数、余弦函数的最大值和最小值． 正弦函数、余弦函数的基本性质 　　函数 性质　　 v＝sin α u＝cos α 定义域 R 值域 [－1，1] 最值 当α＝＋2kπ(k∈Z)时，vmax＝1； 当α＝－＋2kπ(k∈Z)时，vmin＝－1 当α＝2kπ(k∈Z)时，umax＝1； 当α＝(2k＋1)π(k∈Z)时，umin＝－1 周期性 是周期函数，最小正周期为2π 续表 　　函数 性质　　 v＝sin α u＝cos α 单调性 在每一个区间 (k∈Z)上都单调递 增，在每一个区间 (k∈Z)上都单调递减 在每一个区间[(2k－1)π，2kπ](k∈Z)上都单调递增， 在每一个区间[2kπ，(2k＋1)π](k∈Z)上都单调递减 [微提醒] (1)正、余弦函数的单调区间的长度都是π，但它们的周期都是2π，因此单调区间的长度是周期的一半． (2)正、余弦函数不是定义域上的单调函数． (3)终边相同的角的正弦函数值、余弦函数值相等，即对任意k∈Z，sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos α，α∈R. 角度1　周期性与单调性 sin 405°－sin 450°－cos 765°＝________． 解析：sin 405°－sin 450°－cos 765°＝sin(360°＋45°)－sin(360°＋90°)－cos(720°＋45°)＝sin 45°－sin 90°－cos 45°＝－1－＝－1. 答案：－1 求函数u＝cos α在区间上的单调性． 解析：在单位圆中画出角α在区间上的示意图，由图可得u＝cos α在上单调递增；在上单调递减． 学生用书↓第14页 　　方法技巧 1.利用正弦函数、余弦函数的周期性求值的方法 正弦函数、余弦函数的最小正周期都是2π，从而2kπ(k∈Z，k≠0)都是它们的周期，即sin(2kπ＋α)＝sin α，cos(2kπ＋α)＝cos α，k∈Z.先借助正弦函数、余弦函数的周期性，把已知角转化为[0，2π)范围内的角，然后求值，熟记特殊角的三角函数值是解题的基础． 2.判断正弦函数、余弦函数在给定具体区间内的单调性时，要在全部单调区间的前提下，对k取特殊值后，与该给定区间求交集，即为所求单调区间，要注意不能遗漏． 即时练1.sin的值是(　　) A． B.－ C． D．－ C　[sin＝sin＝sin 60°＝.故选C．] 即时练2.求函数u＝2cos α在区间上的单调性． 解析：在单位圆中画出α在区间上的示意图，如图所示． 由图知函数y＝cos α在上单调递减；在[－π，0]上单调递增，所以函数u＝2cos α在上单调递减；在[－π，0]上单调递增． 角度2　最大(小)值、值域 求函数t＝2sin α＋1在区间上的最大值和最小值，并写出取得最值时，自变量α的值． 解析：在单位圆中画出α在区间上的示意图，由图知，当α＝时，sin α取得最大值，此时，tmax＝2×＋1＝＋1. 当α＝时，sin α取得最小值－1，此时tmin＝2×(－1)＋1＝－1. 　　方法技巧 1.利用单位圆有助于理解记忆正弦、余弦函数的单调区间，特别注意不连贯的单调区间不能并． 2．求解函数的值域时要注意函数的定义域，并注意定义域区间端点的取值． 即时练3.求函数u＝－3cos α＋1在上的最大值与最小值． 解析：在单位圆中画出α在区间上的示意图． 由图知，当α＝时，cos α取得最大值，此时umin＝－3×＋1＝；当α＝π时，cos α取得最小值－1，此时umax＝－3×(－1)＋1＝4. 知识点二　正弦函数值和余弦函数值的符号 根据三角函数的定义，大家猜测一下三角函数值在各个象限内的符号． 提示：三角函数值的符号是根据三角函