3.2 函数与方程、不等式之间的关系【7大题型】-【题型分类归纳】2023-2024学年高一数学同步讲与练（人教B版2019必修第一册）

3.2 函数与方程、不等式之间的关系 一、零点的概念 1、定义：一般地，如果函数在实数处的函数值等于零，即，则称为函数的零点. 2、为函数的零点为函数图象与轴的公共点. 3、当函数图象通过零点并穿过轴时，函数值变号，该零点称为函数的变号零点； 当函数图象通过零点但不穿过轴时，函数值不变号，该零点称为函数的不变号零点. 4、两个零点把轴分成3个开区间，在每个区间上所有函数值保持同号. 【注意】（1）零点不是点，而是数； （2）方程的解的个数函数的图象与轴的公共点的个数 函数的零点的个数 （3）函数的编号零点时函数值由正转负或由负转正的分界线。 二、二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系 对于一元二次方程的两根为且，设，它的解按照，，可分三种情况，相应地，二次函数的图像与轴的位置关系也分为三种情况.因此我们分三种情况来讨论一元二次不等式或的解集. 判别式Δ＝b2－4ac Δ>0 Δ＝0 Δ<0 y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根 有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2) 有两个相等的实数根x1＝x2＝－ 没有实数根 ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集 {x|x<x1，或x>x2} R ax2＋bx＋c<0(a>0)的解集 {x|x1<x<x2} ∅ ∅ 三、零点的存在定理 1、定理：如果函数在区间上的图象是连续不断的，且，（即在区间两个端点处的函数值异号），那么，函数在区间内至少有一个零点， 即存在，使得，这个也就是方程的解。 【注意】（1）定义不能确定零点的个数； （2）不满足定理条件时依然可能有零点； （3）定理中的“连续不断”是必不可少的条件； （4）定理反之是不成立的. （5）一般地，解析式是多项式的函数的图象都是联系不断的， 需要注意的是，反比例函数的图象不是连续不断的。 2、重要推论： （1）推论1：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线，， 且具有单调性，则函数在区间内只有一个零点. （2）推论2：函数在区间上的图象是一条连续不断的曲线， 函数在区间内有零点，且函数具有单调性，则 四、二分法求函数的近似解 1、二分法的概念：对于区间上连续不断切的函数，通过不断地把函数的零点所在的区间一分为二，使区间的两个端点逐步地逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫作二分法。 2、用二分法求函数零点近似值的步骤 在函数零点存在定理的条件满足时，给定近似的精度，用二分法求零点的近似值，使得的一般步骤如下： 第一步：检查是否成立。 如果成立，取，计算结果；如果不成立，转到第二步； 第二步：计算区间的中点对应的函数值， 若，则取，计算结束；若，转到第三步； 第三步：若，将的值赋值给（用表示，下同），回到第一步； 否则必有，将将的值赋值给，回到第一步. 【注意】用可知，令，与函数的零点之间的误差一定小于， 原因是， 也可以是 题型一 利用图象解不等式 【例1】（2022·高一课时练习）解关于的不等式：． 【变式1-1】（2023·上海·高一专题练习）解下列关于的不等式． （1）； （2）． 【变式1-2】（2022·高一课时练习）求函数的零点，并求不等式的解集． 【变式1-3】（2023·全国·高一课时练习）求下列函数的零点，并作出函数图像的示意图，写出不等式和的解集： （1）； （2）. 题型二 求函数的零点 【例2】（2023秋·安徽·高一校联考阶段练习）函数的零点是（ ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2023·全国·高一专题练习）函数的零点是 【变式2-2】（2023·全国·高一课堂例题）的零点是 ； 【变式2-3】（2021·全国·高一专题练习）若求函数的零点． 题型三 判断函数零点个数 【例3】（2022秋·辽宁·高一校联考期中）函数的零点个数为（ ） A．4 B．3 C．2 D．1 【变式3-1】（2023·全国·高一专题练习）设函数是定义在上的奇函数，当时，，则的零点个数为 . 【变式3-2】（2023·全国·高一专题练习）若函数，则方程的实根个数为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-3】（2022秋·河北石家庄·高一校考阶段练习）已知，均是定义在的函数，其中函数是奇函数且在上的图象如图1，函数在定义域上的图象如图2，则方程的根的个数是（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 【变式3-4】（2023·全国·高一专题练习）已知函数. （1）作出函数的图象；