19.2 证明举例（讲+练，6题型）-【划重点】2023-2024学年八年级数学上册同步讲与练（沪教版）

19.2 证明举例 1.知道分析证明思路的基本方法 2.通过证明举例的学习和实践,懂得演绎推理的一般规则，初步掌握规范表达的格式 3.会利用平行线、等腰三角形、全等三角形的判定与性质来证明有关线段相等、角相等以及两条直线平行和垂直的简单问题 4.了解添加辅助线的基本方法,会添加几种常见的辅助线 知识点一 证明思路的分析 1.证明思路 要想证明一个命题是否正确,我们在思考时,可以由最后的结论反着向前追溯证明 2.证明思路的分析方法 先定位清楚题目“要证什么？”，然后再罗列出我们“需知什么”也就是要准备哪些条件,由此再考虑“只要证什么”,一直追溯到“已知”而证明的表述 证明逻辑顺序：“已知”→“可知”→“结论”. 3.证明的一般步骤 (1)分清命题的题设和结论; 如果问题与图形有关，要根据条件画出图形，并在图形上标出有关的字母与符号. 注意：无图几何、“射线”或“直线”等几何问题，我们可能还需要进行分类讨论. (2)结合图形,写出已知求证; (3)分析因果关系找出证明途径; (4)有条理地写出证明过程(每一步推理都要有推理的依据). 注意： （1） 在证明的表述中，符号“∵”读作因为，“∴”读作所以. （2） 如果已知中给出图形,给出了已知和求证，这时我们只要写出“证明”这一步即可 即学即练1（2020·八年级校考课时练习）已知：如图，AB=DE，BC=DF，AF=CE．求证：BC∥DF． 即学即练2 填写推理的理由． 已知：如图，于点，于点，，交于点，交于点．求证：． 证明：∵，（           ）， ∴（           ）． ∴（           ）． ∵（           ）， ∴（           ）． ∴（           ）． ∴（           ）． 知识点二 几何证明中常用的证明方法 证明类型 证明方法 证明两直线平行 利用平行线性质判定定理和公理 证明两线段相等 证法1：如果两线段分别在两个三角形中可证两个三角形全等 证法2：如果两线段在一个三角形中，可证它们所对的角 证法3：可以借助一条线段证明两线段都等于第二条 证明两角相等 证法1:利用平行线的性质证两角相等; 证法2：如果两角分别在两个三角形中,可证这两个三角形全等; 证法3：如果两角在一个三角形中，可证它们所对的边相等(等腰三角形的性质) 证明两直线互相垂直 证法1：利用垂直定义; 证法2：利用等腰三角形“三线合一” 即学即练1（2022秋·八年级单元测试）如图，现有以下三个条件：①②③．请你以其中两个作为题设，另一个作为结论构造命题． （1）你构造的是哪几个命题？ （2）你构造的命题是真命题还是假命题？若是真命题，请给予证明；若是假命题，请举出反例(证明其中的一个命题即可)． 即学即练2已知：正方形，，．求证：． 题型1添加辅助线举例 例1（2022秋·山东泰安·七年级统考期末）如图，在中，已知是边上的中线，是上一点，且，延长交于点，求证：． 举一反三1已知：如图所示，AD平分，M是BC的中点，MF//AD，分别交CA延长线，AB于F、E． 求证：BE=CF． 举一反三2如图所示，在中，AB=AC，，BE平分，交AC于D，于E点， 求证：． 题型2证明线的和差倍关系 例2如图所示，已知中，，BD、CE分别平分和，BD、CE交于点O． 求证：BE+CD=BC． 举一反三1如图，AB∥CD，AE、DE分别平分∠BAD和∠ADC，求证：AD=AB+CD． 举一反三2如图，AB=CD，E为BC的中点，∠BAC=∠BCA，求证：AD=2AE． 题型3证明角的和差倍问题 例3已知：如图所示，AB=CD，． 求证：． 举一反三1如图，在四边形ABCD中，AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，AD+AB=2AE， 求证：∠ADC+∠B=180º 举一反三2如图，于点、是上一点，于点，，求证：． 题型4证明线的位置关系 例4已知：如图，AC=BD，1=2．求证：AD∥BC． 举一反三1如图，已知AB⊥AC，AD⊥AE，AB=AC，AD=AE， 求证：（1）BE=DC （2）BE⊥DC． 举一反三2如图，直线、被所截，且，、分别是、的平分线，求证：． 题型5开放性证明问题 例5（2022秋·八年级单元测试）如图，直线、均被直线、所截，且与相交，给定以下三个条件： ①；②；③；请从这三个条件中选择两个作为条件，另一个作为结论组成一个真命题，并进行证明 已知： 求证： 证明： 举一反