专题12.6 成对数据的相关关系 专题讲义-2024届高三数学一轮复习

专题12.6 成对数据的相关关系 1.变量的相关关系 ⑴相关关系：两个变量有关系,但又没有确切到可由其中一个去精确地决定另一个的程度,这种关系称为相关关系. 注意：相关关系与函数关系是不同的，相关关系是一种非确定的关系，函数关系是一种确定的关系，而且函数关系是一种因果关系，但相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系． ⑵线性相关、非线性相关 ①线性相关：一般地,如果两个变量的取值呈现正相关或负相关,而且散点落在一条直线附近,我们就称这两个变量线性相关.  ②非线性相关：一般地,如果两个变量具有相关性,但不是线性相关,那么我们就称这两个变量非线性相关或曲线相关. ⑶散点图 将样本中的个数据点描在平面直角坐标系中，所得图形叫做散点图．根据散点图中点的分布可以直观地判断两个变量之间的关系． ①如果散点图中的点散布在从左下角到右上角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为正相关，如图（1）所示； ②如果散点图中的点散布在从左上角到右下角的区域内，对于两个变量的这种相关关系，我们将它称为负相关，如图（2）所示． ①将收集到的两个变量的统计数据分别作为横、纵坐标,在直角坐标系中描点,这样得到的图叫作散点图； ②散点图具有直观简明的特点，可以根据散点图判断两个变量有没有相关关系. ⑷正相关、负相关 ①正相关：从整体上看,当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值也呈现增加的趋势,我们就称这两个变量正相关; ②负相关：从整体上看,如果当一个变量的值增加时,另一个变量的相应值呈现减小的趋势,则称这两个变量负相关.  2.样本相关系数 ⑴相关系数的计算 变量与变量的样本相关系数的计算公式如下：. ⑵相关系数的性质 ①当时,称成对样本数据正相关； 当时,称成对样本数据负相关； 当时，成对样本数据间没有线性相关关系. ②样本相关系数的取值范围为,当越接近1时,成对样本数据的线性相关程度越强；当越接近0时,成对样本数据的线性相关程度越弱. 3.一元线性回归模型 ⑴经验回归方程 我们将称为关于的经验回归方程，也称经验回归函数或经验回归公式，其图形称为经验回归直线，其中 . ⑵利用决定系数刻画回归效果 ，越大，即拟合效果越好，越小，模型拟合效果越差. ⑶一元线性回归模型参数的最小二乘估计 ①经验回归方程：如果散点图中点的分布从整体上大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,我们把这条直线称为经验回归直线(回归直线),借助最小二乘法得到的直线方程称为经验回归方程(线性回归方程). ②经验回归方程的性质 i.经验回归直线一定过点 ； ii.与正相关的充要条件是的；与负相关的充要条件是； iii.当增大一个单位时,增大个单位,这就是回归系数的实际意义. 4.列联表与独立性检验 (1)2×2列联表 如图,给出成对分类变量数据的交叉分类频数的数据统计表称为2×2列联表. 合计 合计 (2)独立性检验 ①依据上述2×2列联表构造统计量， 忽略的实际分布与该近似分布的误差后，对于任何小概率值，可以找到相应的正实数， 使得成立.我们称为的临界值，这个临界值就可作为判断大小的标准. ②基于小概率值的检验规则是： 当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过； 当时，我们没有充分证据推断不成立 ，可以认为和独立. 这种利用的取值推断分类变量和是否独立的方法称为独立性检验，读作“卡方独立性检验”，简称独立性检验. 下表给出了独立性检验中几个常用的小概率值和相应的临界值 α 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 xα 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【重要结论】 1.线性回归直线一定经过样本点的中心,据此性质可以解决有关的计算问题、判断结论的正确性. 2.根据回归方程计算的值，仅是一个预报值，不是真实发生的值. 3.根据的值可以判断两个分类变量有关的可信程度，若越大，则两分类变量有关的把握越大. 1.【人教A版选择性必修三 习题8.2 第1题 P120】如果发现散点图中所有的样本点都落在一条斜率为非实数的直线上，则下列说法错误的是(    ) A. 解释变量和预报变量是一次函数关系 B. 决定系数 C. 残差平方和为 D. 相关系数 2.【人教A版选择性必修一 习题8.3 第5题 P135】为了研究高三年级学生的性别和身高是否大于的关联性，同学甲调查了某中学高三年级所有学生，整理得到列联表，同学乙从该校高三学生中获取容量为的有放回简单随机样本，由样本数据整理得到列联表． 表单位：人 性别 身高 合计 女 男 合计 表单位：人