第1章 4 专项4 线段垂直平分线与角平分线的应用-【勤径学升】2023-2024学年八年级下册数学同步练测配套教师用书（北师大版）

线段垂直平分线的应用　　 (西安西工大附中期末)如图，在△ABC中，AB边的垂直平分线DE分别与AB和AC交于点D和点E，BC边的垂直平分线FG分别与BC和AC交于点F和点G，若△BEG的周长为17，且EG＝1，则AC的长为(　　) A．13 B．14 C．15 D．16 (聊城实验中学期中)如图，在△ABC中，AB的垂直平分线DM交BC于点D，交AB于点M，点E为CD的中点，∠CAE＝25°，∠ACB＝65°，猜想BD与AC的数量关系，并说明理由． 角平分线的应用　　 如图，BD是△ABC的角平分线． (1)如图①，DE⊥AB于点E，DF⊥BC于点F，连接EF.求证：BD所在直线是EF的垂直平分线； (2)如图②，当有一点G从点D向点B运动时，GE⊥AB于点E，GF⊥BC于点F，此时(1)中的结论是否成立？请证明； (3)如图③，当点G沿BD方向从点D沿BD的延长线运动时，GE⊥BA(或其延长线)于点E，GF⊥BC(或其延长线)于点F，此时(1)中的结论是否成立？不需证明． 　 ①　　　　　②　　　　　③ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专项4　线段垂直平分线与角平分线的应用 1．C　[解析]∵DE是线段AB的垂直平分线，FG是线段BC的垂直平分线，∴EB＝EA，GB＝GC.∵△BEG的周长为17，∴EB＋GB＋EG＝17，∴EA＋GC＋EG＝17，∴GA＋EG＋EG＋EG＋EC＝17，∴AC＋2EG＝17，又∵EG＝1，∴AC＝15. 2．解：BD＝AC.理由如下： 如答图，连接AD，∵∠CAE＝25°，∠ACB＝65°， ∴∠AED＝∠CAE＋∠ACB＝90°，即AE⊥CD， 又∵点E为CD的中点， ∴AE垂直平分CD，∴AD＝AC. ∵DM垂直平分AB， ∴AD＝BD，∴BD＝AC. 3．(1)证明：∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DF⊥BC， ∴DE＝DF，∴点D在EF的垂直平分线上． 在Rt△BDE和Rt△BDF中， ∴Rt△BDE≌Rt△BDF(HL)，∴BE＝BF， ∴点B在EF的垂直平分线上， ∴BD所在直线是EF的垂直平分线． (2)解：成立，证明如下： 同(1)可证GE＝GF，BE＝BF， ∴点G，B在EF的垂直平分线上， ∴BG所在直线是EF的垂直平分线， 即BD所在直线是EF的垂直平分线． (3)解：成立． 学科网（北京）股份有限公司 $$