专题9.6 直线与圆锥曲线位置关系（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题9.6 直线与圆锥曲线位置关系 【核心素养】 通过考查直线与圆锥曲线的位置关系，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理等核心数学素养. 知识点一 直线和圆锥曲线的位置关系 判断直线l与圆锥曲线C的位置关系时，通常将直线l的方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为0)代入圆锥曲线C的方程F(x，y)＝0，消去y(也可以消去x)得到一个关于变量x(或变量y)的一元方程． 即消去y，得ax2＋bx＋c＝0. (1)当a≠0时，设一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判别式为Δ，则Δ>0⇔直线与圆锥曲线C相交； Δ＝0⇔直线与圆锥曲线C相切； Δ<0⇔直线与圆锥曲线C相离． (2)当a＝0，b≠0时，即得到一个一次方程，则直线l与圆锥曲线C相交，且只有一个交点，此时，若C为双曲线，则直线l与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若C为抛物线，则直线l与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合． 知识点二 “弦”的问题 1.弦长公式 设斜率为k（）的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，，则＝＝. 2．处理中点弦问题常用的求解方法 (1)点差法： 即设出弦的两端点坐标后，代入圆锥曲线方程，并将两式相减，式中含有x1＋x2，y1＋y2，三个未知量，这样就直接联系了中点和直线的斜率，借用中点公式即可求得斜率． (2)根与系数的关系： 即联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解． 注意：中点弦问题常用的两种求解方法各有弊端：根与系数的关系在解题过程中易产生漏解，需关注直线的斜率问题；点差法在确定范围方面略显不足． 3.抛物线的焦点弦 如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l． (1)以AB为直径的圆必与准线l相切； (2)|AB|＝2(x0＋)＝x1＋x2＋p； (3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2． 常考题型剖析 题型一： 直线与圆锥曲线位置关系的判断 【典例分析】 例1-1．（2023·全国·高三专题练习）直线l：与椭圆C：的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不能确定 例1-2.（2023·全国·高三专题练习）直线与双曲线交点的个数是（    ） A．0 B．1 C．2 D．4 【变式训练】 变式1-1．（2024·全国·高三专题练习）双曲线与直线的公共点的个数为（    ） A．0 B．1 C．0或1 D．0或1或2 变式1-2.【多选题】（2024·全国·高三专题练习）已知直线l过定点，则与抛物线有且只有一个公共点的直线l的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：研究曲线的几何性质 【典例分析】 例2-1.（2021·天津·统考高考真题）已知双曲线的右焦点与抛物线的焦点重合，抛物线的准线交双曲线于A，B两点，交双曲线的渐近线于C、D两点，若．则双曲线的离心率为（    ） A． B． C．2 D．3 例2-2.（2023秋·云南·高三校联考阶段练习）已知椭圆，点为左焦点，点为下顶点，平行于的直线交椭圆于，两点，且的中点为，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【变式训练】 变式2-1.（2023春·海南海口·高三统考期中）已知双曲线的左顶点为A，右焦点为，过点A的直线l与圆相切，与C交于另一点B，且，则C的离心率为（    ） A．3 B． C．2 D． 变式2-2.【多选题】（2023·广东东莞·校考三模）已知抛物线，为坐标原点，点为直线上一点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为，，则（    ） A．抛物线的准线方程为 B．直线一定过抛物线的焦点 C．线段长的最小值为 D． 题型三：求直线方程 【典例分析】 例3-1.（2022·全国·统考高考真题）已知直线l与椭圆在第一象限交于A，B两点，l与x轴，y轴分别交于M，N两点，且，则l的方程为 ． 例3-2.（2023·天津·统考高考真题）设椭圆的左右顶点分别为，右焦点为，已知． (1)求椭圆方程及其离心率； (2)已知点是椭圆上一动点（不与端点重合），直线交轴于点，若三角形的面积是三角形面积的二倍，求直线的方程． 【变式训练】 变式3-1.（2021·天津·统考高考真题）已知椭圆的右焦点为，上顶点为，离心率为，且． （1）求椭圆的方程； （2）直线与椭圆有唯一的公共点，与轴的正半轴交于点，过与垂直的直线交轴于点．若，求直线的方程． 变式3-2.（2022·全国·统考高考真题）设抛物线的焦点为F，点，过F的直线交C于M，N两点．当直线MD垂直于x轴时，． (1)求C的方程； (2)设直线与C的另一个交点分别为A，B，记直线的倾