专题9.5 抛物线（讲+练）-备战2024年高考数学大一轮复习核心考点精讲精练（新高考专用）

专题9.5 抛物线 【核心素养】 1.考查抛物线的定义、求抛物线方程、最值等问题，凸显直观想象、数学运算的核心素养． 2.结合抛物线的几何性质及几何图形，求抛物线相关性质及其应用，凸显数学运算、直观想象的核心素养． 3.考查直线与抛物线的位置关系，凸显逻辑推理、数学运算、数学应用的核心素养． 知识点一 抛物线的定义 平面内与一个定点和一条定直线（不经过点）的距离相等的点的轨迹叫做抛物线，定点叫做抛物线的焦点，定直线叫做抛物线的准线． 知识点二 抛物线的标准方程及几何性质 图形 标准方程 y2=2px（p＞0） y2=－2px（p＞0） x2=2py（p＞0） x2=－2py（p＞0） 顶点 O（0，0） 范围 x≥0， x≤0， y≥0， y≤0， 对称轴 x轴 y轴 焦点 离心率 e=1 准线方程 焦半径 知识点三 焦半径、焦点弦 1.通径 过焦点垂直于轴的弦称为抛物线的通径，其长为__2p__． 2．焦半径 抛物线上一点与焦点F连接的线段叫做焦半径，设抛物线上任一点A(x0，y0)，则四种标准方程形式下的焦半径公式为 标准方程 y2＝2px (p>0) y2＝－2px (p>0) x2＝2py (p>0) x2＝－2py (p>0) 焦半径|AF| |AF|＝__x0＋__ |AF|＝__－x0__ |AF|＝__y0＋__ |AF|＝__－y0__ 3．焦点弦问题 如图所示：AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦，设A(x1，y1)、B(x2，y2)，AB的中点M(x0，y0)，抛物线的准线为l． (1)以AB为直径的圆必与准线l__相切__； (2)|AB|＝2(x0＋)＝x1＋x2＋__p__； (3)A、B两点的横坐标之积、纵坐标之积为定值，即x1·x2＝，y1·y2＝－p2． 知识点四 直线和抛物线的位置关系 （1）将直线的方程与抛物线的方程y2=2px（p＞0）联立成方程组，消元转化为关于x或y的一元二次方程，其判别式为Δ. 若，直线与抛物线的对称轴平行或重合，直线与抛物线相交于一点； 若 ①Δ＞0 直线和抛物线相交，有两个交点； ②Δ＝0直线和抛物线相切，有一个公共点； ③Δ＜0直线和抛物线相离，无公共点． （2）直线与抛物线的相交弦 设直线交抛物线于点两点，则 == 同理可得[来源:Z*xx*k.Com] 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： 常考题型剖析 题型一： 抛物线定义的应用 【典例分析】 例1-1．（2023·全国·高三专题练习）已知动点的坐标满足方程，则动点M的轨迹是（    ） A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．以上都不对 例1-2.（2020·北京·统考高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（    ）． A．经过点 B．经过点 C．平行于直线 D．垂直于直线 【规律方法】 1．涉及抛物线几何性质的问题常结合图形思考，通过图形可以直观地看出抛物线的顶点、对称轴、开口方向等几何特征，体现了数形结合思想解题的直观性． 2.抛物线上的点到焦点距离等于到准线距离，注意转化思想的运用． 【变式训练】 变式1-1.（2008·北京·高考真题）若点到直线的距离比它到点的距离小1，则点的轨迹为（ ） A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线 变式1-2.（2023·全国·高三专题练习）设抛物线：的焦点为，在上，，则的方程为（    ） A． B． C． D． 题型二：点到定点距离（和）问题 例2-1.（2022·全国·统考高考真题）设F为抛物线的焦点，点A在C上，点，若，则（    ） A．2 B． C．3 D． 例2-2.（2024·全国·高三专题练习）已知抛物线的焦点为F，点，若点A为抛物线任意一点，当取最小值时，点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【规律方法】 1.利用抛物线定义可以解决距离的最大和最小问题，该类问题一般情况下都与抛物线的定义有关．实现由点到点的距离与点到直线的距离的转化． (1)将抛物线上的点到准线的距离转化为该点到焦点的距离，构造出“两点之间线段最短”，使问题得解． (2)将抛物线上的点到焦点的距离转化为到准线的距离，利用“与直线上所有点的连线中垂线段最短”原理解决． 2.提醒：利用抛物线定义进行距离转化的同时，要注意平面几何知识在其中的重大运用． 【变式训练】 变式2-1.（2011·辽宁·高考真题）已知为抛物线的焦点，是该抛物线上的两点，，则线段的中点到轴的距离为   A． B． C． D． 变式2-2.（2023春·河南开封·高三统考