拓展阿氏圆方程的求解 专题-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

拓展--阿氏圆方程的求解 *说明：借助反演点的性质应用来找圆心和半径。 1. 阿氏圆的定义：已知平面上两个定点A、B，当动点P符合到两定点的距离比值为不等于1的定值时，点P的轨迹是个圆。 2. 常规阿氏圆的求解方法： 例：已知，动点P符合到A点的距离与P到B点的距离之比为2，求P的轨迹方程。 解法一：设点P（x,y），由题可知， 即，平方移项可得 ， 展开得 ， 化简得 也可写成4，圆心O（2,0），半径是2。 思路和方法虽然简单，但是运算量有点多，如果题中的定点或比值未知时，这个计算就更复杂了，如果我们对这个圆的性质了解更多一些，就可以列其它方程来求解啦。 3. 反演点、反演(inverse points;inverse)定义：是在圆或球直径上的一对点P与P′，如果它们到中心O之距离的乘积，等于半径r的平方，则称它们互为反演点，O称为反演中心，r称为反演半径。（即圆心和反演点符合：）从P变到P′或从P′变到P的变换，称为反演变换，或反演映射，简称反演。 我们继续上面的例题，由已求出的圆心坐标O（2,0），半径为2，两定点可知|OA|=4，|OB|=1，r=2，符合，即阿氏圆中的两定点A、B符合反演的规律。（完整证明过程先略，感兴趣可以课后联系） 阿氏圆的求解可以借助以下两个性质： ①圆心O在定点A、B的延长线上k靠近P距离定点较近的那一边；eg.|PA|=2|PB|，圆心在AB延长线靠近B点的那一端； ② 解法二：设圆心为D（t,0）， 当P在AB线段上时，根据可知P点坐标为（0,0），所以r可表示为|DP|=t，因为|DA|=t+2，|DB|=t-1，根据|DA||DB|=，得(t+2)(t-1)=，解得t=2， 所以圆心为（2,0），半径是2。 【例题1】古希腊著名数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现；平面内到两个定点A、B的距离之比为定值（且）的点所形成的图形是圆.后来，人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆.已知在平面直角坐标系xOy中，，.点P满足，设点P所构成的曲线为C，下列结论正确的是（    ） A． C的方程为 B．在C上存在点D，使得D到点（1，1）的距离为10 C．在C上存在点M，使得 D．C上的点到直线的最大距离为9 【答案】AD 【详解】解：设圆心C（t，0）（t<-2），当P在线段AB上时，坐标为（0,0） 所以， 由|CA||CB|=得解得.r=4，A正确； 点（1，1）到圆上的点的最大距离，故不存在点D符合题意，故B错误. 设，由，得，又，联立方程消去得，解得无解，故C错误； C的圆心（-4，0）到直线的距离为，且曲线C的半径为4，则C上的点到直线的最大距离，故D正确。 【例题2】已知圆O：和点A（-2,0），若定点B（b，0）（b≠-2）和常数k满足：对圆O上任意一点M，都有|MB|=k|MA|，则b=________，k=__________。 解:已知M在圆O上，A、B应互为反演点，|OA||OB|=，即|b|=1，且b应在线段AO之间，所以，当M为（-1,0）时，k=。 【小练一下】 1. 已知定点A（-2,0），B（1,0），如果动点P满足条件|PA|=2|PB|，则点P的轨迹所包围的图形的面积等于（ ）. A.π B.4π C.8π D.9π 【答案】B 【详解】 设P（x,y）在D（t，0）上，|DA|=t+2,|DB|=t-1, 当P在AB上时，坐标为（0,0），所以r=t， 又|DA||DB|=，，解得t=2.r=2,S=4π。 2.已知点，，圆，在圆上存在点满足，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设P（x,y）在D（t，0）上， |DA|=t+1,|DB|=t-2,当P在AB上时，坐标为（1,0），所以r=t-1， 又|DA||DB|=，，解得t=3 可得圆心，半径， 由圆可得圆心，半径， 因为在圆上存在点满足， 所以圆与圆有公共点， 所以，整理可得：， 解得：， 所以实数的取值范围是， 小tips：遇到k（k≠1）或|PA|=k|PB|类型的题可尝试一下！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$