专题12.5 随机抽样与用样本估计总体讲义-2024年高考数学一轮复习

专题12.5 随机抽样与用样本估计总体 1.随机抽样 ⑴简单随机抽样 一般地,设一个总体含有 (为正整数)个个体,从中逐个抽取个个体作为样本,如果抽取是放回的,且每次抽取时总体内的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做放回简单随机抽样；如果抽取是不放回的,且每次抽取时总体内未进入样本的各个个体被抽到的概率都相等,我们把这样的抽样方法叫做不放回简单随机抽样.放回简单随机抽样和不放回简单随机抽样统称为简单随机抽样.通过简单随机抽样获得的样本称为简单随机样本. ⑵常见的简单随机抽样方法： ①抽签法：一般地，抽签法就是把总体中的个个体编号，把号码写在号签上，将号签放在一个容器中，搅拌均匀后，每次从中抽取一个号签，连续抽取次，就得到一个容量为的样本； ②随机数法：即利用随机数表、随机数骰子或计算机产生的随机数进行抽样．这里仅介绍随机数表法．随机数表由数字，，，…，组成，并且每个数字在表中各个位置出现的机会都是一样的． 注意：为了保证所选数字的随机性，需在查看随机数表前就指出开始数字的横、纵位置． ⑶简单随机抽样的特征 ①有限性：简单随机抽样要求被抽取的样本的总体个数是有限的，便于通过样本对总体进行分析． ②逐一性：简单随机抽样是从总体中逐个地进行抽取，便于实践中操作． ③不放回性：简单随机抽样是一种不放回抽样，便于进行有关的分析和计算． ④等可能性：简单单随机抽样中各个个体被抽到的机会都相等，从而保证了抽样方法的公平． 只有四个特点都满足的抽样才是简单随机抽样． 2.分层随机抽样 ⑴定义：一般地，按一个或多个变量把总体划分成若干个子总体，每个个体属于且仅属于一个子总体，在每个子总体中独立地进行简单随机抽样，再把所有子总体中抽取的样本合在一起作为总样本，这样的抽样方法称为分层随机抽样，每一个子总体称为层.在分层抽样中，如果每层样本量都与层的大小成比例，那么成这种样本量的分配方式为比例分配. ⑵分层随机抽样的步骤 ①按某种特征将总体分成若干部分(层)； ②计算各层所占比例所占比例=； ③计算各层抽取的个体数,各层抽取的个体数=样本量×各层所占比例; ④按简单随机抽样从各层抽取样本，综合每层抽样，组成样本. 3.总体平均数与样本平均数 名称 定义 总体均值（总体平均数） 一般地，总体中有个个体，它们的变量值分别为，则称为总体均值，又称总体平均数. 如果总体的个变量值中，不同的值共有 个，不妨记为，其中出现的频率,则总体均值还可以写成加权平均数的形式. 样本均值（样本平均数） 如果从总体中抽取一个容量为的样本，它们的变量值分别为，则称 为样本均值，又称样本平均数. 说明：⑴在简单随机抽样中，我们常用样本均值去估计总体平均数； ⑵总体平均数是一个确定的数，样本平均数具有随机性（因为样本具有随机性）； ⑶一般情况下，样本量越大，估计越准确. 4.统计图表 常见的统计图表有条形图、扇形图、折线图、频率分布直方图等. ①条形统计图的特点 优点：从条形统计图中能够很直观地看出各组中数据的多少,每一个条形都能体现该组中的具体数据,也易比较数据间的差别. 缺点：不能显示出部分与整体的关系. ②扇形统计图的特点 i.圆代表总体； ii.扇形代表总体中的不同部分； iii.扇形的大小反映部分占总体的百分比的大小； iv.各个扇形所占的百分比之和为1.但是,在不同的统计图中,不能简单地根据百分比的大小来比较部分量的大小. ③折线统计图 折线统计图和条形统计图很相似,制图步骤与条形统计图也基本相同,只是不画直条,而是按照数据的大小描出各点,再用线段顺次连接起来.它不但可以表示出数量的多少,而且能够从折线的起伏中清楚直观地表示出数量增减变化的情况. ④频率分布直方图 i.作频率分布直方图的步骤 求极差(即一组数据中最大值与最小值的差)决定组距与组数将数据分组列频率分布表画频率分布直方图. ii.与频率分布直方图有关的常用结论 a.小长方形的面积=组距. b.各小长方形的面积之和等于1. c. ，此关系式的变形为，样本容量频率=频数. d.在频率分布直方图中,各小矩形的面积之比等于频率之比,各小矩形的高度之比也等于频率之比. 5.总体百分位数的估计 ⑴第百分位数的定义 一般地,一组数据的第百分位数是这样一个值,它使得这组数据中至少有的数据小于或等于这个值,且至少有的数据大于或等于这个值.  ⑵计算一组个数据的第百分位数的步骤： ①按从小到大排列原始数据; ②计算； ③若不是整数,而大于的比邻整数为,则第百分位数为第项数据；若是整数,则第百分位数为第项与第项数据的平均数. 6.样本的数字特征 ⑴众数：一组数据中出现次数最多的数据(即频率分布最大值所对应的样本数据)称为这组数据的众数. ⑵中位数：一组数据按从小到大(或从大到小)的顺