上海市南洋模范中学2023-2024学年高一上学期期中数学试题

南模2023学年第一学期高一年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分） 1. 不等式的解集是___________． 2. 设R，则“”是“”的________条件. （用“充要”、“充分不必要”、“必要不充分”或“既不充分也不必要条件”填空） 3. 化简（其中__． 4. 已知是关于的方程的两个根，则 ________. 5. 含有三个实数的集合可表示为，也可以示为，则的值为____. 6. 已知函数是幂函数，其图像分布在第一、三象限，则____________． 7. 如果用反证法证明命题“设，，则方程至少有一个实根”，那么首先假设方程_________ 8. 幂函数y=xa，当a取不同的正数时，在区间[0,1]上它们的图象是一组美丽的曲线（如图），设点A(1,0)，B(0,1)，连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xa，y=xb的图象三等分，即有BM=MN=NA，那么ab=______. 9. 已知常数，函数的图象经过点、，若 ，则___ 10. 已知，，当变化时，最小值为4，则______. 11. 若对任意，均有，则实数a的取值范围为___________． 12. 已知集合为非空数集，且同时满足下列条件： （ⅰ）； （ⅱ）对任意的，任意的，都有； （ⅲ）对任意的且，都有． 给出下列四个结论： ①；②；③对任意的，都有；④对任意的，都有． 其中正确的序号为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 13. 已知全集，集合，，则如图所示阴影部分表示的集合是（ ） A. B. C. D. 14. 已知，则（ ） A. -2 B. 2 C. D. 15. 若关于的不等式的解集不为空集，则实数的取值范围为（ ） A. B. C D. 16. 若，且，则（ ） A. 的最小值为 B. 的最小值为 C. 最小值为16 D. 没有最小值 三、解答题（共5道大题，其中17题14分，18题14分，19题14分，20题16分，21题18分，共计76分） 17. 已知，， （1）当，求的值： （2）当时，用表示. 18. 已知二次函数图象与轴的两个交点的横坐标分别为和3，且方程的两根相等． （1）求二次函数解析式； （2）求关于的不等式的解集． 19. 某商场在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售，当顾客在商场内消费一定金额后，按如下方案获得相应金额的奖券： 消费金额（元）的范围 … 获得奖券的金额（元） 30 60 100 130 … 根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，例如：购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的优惠额为：元，设购买商品得到的优惠率＝（购买商品获得的优惠额）/（商品标价），试问： （1）若分别购买一件标价为500元与1000元的商品，顾客得到的优惠率分别是多少？ （2）对于标价在（元）内的商品，顾客购买标价为多少元的商品，可得到不小于的优惠率？购买标价多少元的商品得到的优惠率最大？ 20. 已知函数 （1）若恒成立，求实数的取值范围； （2）若对恒成立，求实数的取值范围： （3）若存在使关于的方程有四个不同的实根，求实数的取值范围. 21. 记，，存在正整数n，且.若集合满足，则称集合A为“谐调集”. （1）分别判断集合、集合是否为“谐调集”； （2）已知实数x、y，若集合为“谐调集”，是否存在实数z满足，并且使得为“谐调集”？若存在，求出所有满足条件的实数z，若不存在，请说明理由； （3）若有限集M为“谐调集”，且集合M中的所有元素均为正整数，试求出所有的集合M. 南模2023学年第一学期高一年级数学期中 2023.11 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1~6题每题4分，第7-12题每题5分） 【1题答案】 【答案】 【2题答案】 【答案】必要不充分 【3题答案】 【答案】## 【4题答案】 【答案】4 【5题答案】 【答案】 【6题答案】 【答案】 【7题答案】 【答案】没有实数根 【8题答案】 【答案】 【9题答案】 【答案】； 【10题答案】 【答案】2 【11题答案】 【答案】 【12题答案】 【答案】①③④ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 【13题答案】 【答案】C 【14题答案】 【答案】B 【15题答案】 【答案】C 【16题答案】 【答案】A 三、解答题（共5道大题，其中17题14分，18题14分，19题14分，20题16分，21题18分，共计76分） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）. 【18题答案】 【答案】（1）；