培优微课3 概率统计与函数的交汇问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

概率统计与函数的交汇问题，综合性较强，一是借助二次函数，分段函数的性质，利用单调性求均值和方差的最值；二是利用导数研究函数的极值点，从而确定最优解．但问题的本质仍是以概率统计为主导，利用函数辅助求解． 1．某地盛产橙子，但橙子的品质与当地的气象相关指数λ有关，气象相关指数λ越大，橙子品质越高，售价同时也会越高．某合作社统计了近10年当地的气象相关指数λ，得到了如图所示的频率分布直方图． (1)求a的值； (2)从这10年中任意抽取3年研究气象指数λ对橙子品质的影响，求这3年的气象相关指数λ在[0.9，1]之间的个数X的数学期望； (3)根据往年数据知，该合作社的利润y(单位：千元)与每亩地的投入x(单位：千元)和气象相关指数λ的关系为y＝100λ－λ－4x－40，x∈[4，8]，求气象相关指数λ取何值时，能使对于任意的x∈[4，8]，该合作社都不亏损． 解析：(1)由频率分布直方图可知0.1×(1＋1＋a＋5)＝1，解得a＝3. (2)由题意知，X的所有可能取值为0，1，2，3， 10年中气象相关指数λ在[0.9，1]之间的频率为5×0.1×10＝5， P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝． 所以X的分布列为： X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝． (3)由题意得y≥0在x∈[4，8]上恒成立， 即25λ≥在x∈[4，8]上恒成立． 令g(x)＝＝x＋＋12，x∈[4，8]，则25λ≥g(x)max，g′(x)＝1－， 由g′(x)>0，得2<x≤8，所以g(x)在(2，8]上单调递增， 由g′(x)<0，得4≤x<2，所以g(x)在[4，2)上单调递减． 又g(4)＝21，g(8)＝22.5，所以g(x)max＝22.5， 所以25λ≥22.5，解得λ≥0.9． 所以当气象相关指数λ∈[0.9，1]时，能使对于任意的x∈[4，8]，该合作社都不亏损． 2．某赛事共有16位选手参加，采用双败淘汰制．双败淘汰制，即一个选手在两轮比赛中失败才被淘汰出局．各选手抽签后两两交战(结果是“非胜即败”)，胜者继续留在胜者组，败者则被编入败者组，在败者组一旦失败即被淘汰，最后由胜者组的获胜者和败者组的获胜者进行决赛．对阵秩序表如图所示． 学生用书↓第80页 赛前通过抽签确定选手编号为1～16，在胜者组进行第一轮比赛．每条横线代表一场比赛，横线下方的记号为失败者的编号代码，而获胜者没有代码，如败者组中的①，②，…，⑧指的是在胜者组第一轮比赛的失败者，败者组中的A，B，…，G指的是在胜者组第二轮到第四轮比赛的失败者． (1)本赛事共计多少场比赛？一位选手最多能进行多少轮比赛？(直接写结果) (2)选手甲每轮比赛胜败都是等可能的，设甲共进行X轮比赛，求其均值E(X)； (3)假设选手乙每轮比赛的胜率都为t，那么乙有三成把握经败者组进入决赛吗？ 参考知识：正整数n>1时，<，e为自然对数的底数，e≈2.718 28． 解析：(1)本赛事共30场比赛，一位选手最多能进行7轮比赛． (2)X的所有可能取值为2，3，4，5，6，7． P(X＝2)＝＝， P(X＝3)＝C＝， P(X＝4)＝C＝， P(X＝5)＝C＋＝， P(X＝6)＝P(X＝7)＝C＝， X的分布列如下： X 2 3 4 5 6 7 P 则E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＋6×＋7×＝. (3)乙经败者组进入决赛的概率为 f(t)＝C(1－t)t5，0<t<1， f′(t)＝4t4(5－6t)， 当0<t<时，f′(t)>0，f(t)在上单调递增， 当<t<1时，f′(t)<0，f(t)在上单调递减， 得f(t)的最大值为f＝4××＝×＝×， 由参考知识得<， 故f<<， 所以，乙没有三成把握经败者组进入决赛． 学科网（北京）股份有限公司 $$