培优微课2 概率统计与数列的交汇问题-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

概率统计与数列的交汇问题的主要类型 (1)求通项公式：关键是找出概率Pn或数学期望E(Xn)的递推关系式，然后根据构造法(一般构造等比数列)，求出通项公式； (2)求和：主要是数列中的倒序求和、错位求和、裂项求和； (3)利用等差、等比数列的性质，研究单调性、最值或求极限． 1．为了备战亚运会，跳水运动员甲参加国家队训练测试，已知该运动员连续跳水m次，每次测试都是独立的．若运动员甲每次选择难度系数较小的动作A与难度系数较大的动作B的概率均为.每次跳水测试时，若选择动作A，取得成功的概率为，取得成功记1分，否则记0分．若选择动作B，取得成功的概率为，取得成功记2分，否则记0分．总得分记为X分． (1)若m＝2，求分数X的分布列与均值(若结果不为整数，用分数表示)． (2)若测试达到n分则中止，记运动员在每一次跳水均取得成功且累计得分为n分的概率为G(n)，如G(1)＝． ①求G(2)； ②问是否存在λ∈R，使得{G(n)－λG(n－1)}为等比数列，其中n∈N＋，n≥2？若有，求出λ；若没有，请说明理由． 解析：(1)进行一次试验， 获得0分的概率为×＋×＝， 获得1分的概率为×＝， 获得2分的概率为×＝， 进行两次试验， X的所有可能取值为0，1，2，3，4， P(X＝4)＝×＝， P(X＝3)＝××2＝， P(X＝2)＝××2＋×＝， P(X＝1)＝××2＝， P(X＝0)＝×＝． 所以分数X的分布列为： X 0 1 2 3 4 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＋4×＝． (2)①G(2)＝＋×＝， ②据题意有， G(n)＝G(n－2)＋G(n－1)，其中n≥3， 设G(n)－λG(n－1)＝G(n－2)＋G(n－1)－λG(n－1)＝G(n－2)＋G(n－1) ＝[G(n－1)－λG(n－2)]． 比较系数得－λ＝， 解得λ＝， 所以{G(n)－λG(n－1)}是公比为－λ的等比数列，其中n∈N＋，n≥2，λ＝． 学生用书↓第79页 2．一款游戏规则如下：掷一枚质地均匀的硬币，若出现正面向前跳2步，若出现反面向前跳1步． (1)若甲、乙二人同时参与游戏，每人各掷硬币2次， ①求甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率； ②记甲、乙二人向前跳的步数和为X，求随机变量X的分布列和均值． (2)若某人掷硬币若干次，向前跳的步数为n(n∈N*)的概率记为pn，求pn的最大值． 解析：(1)①设甲向前跳的步数为Y，乙向前跳的步数为Z， 则P(Y＝2)＝P(Z＝2)＝， P(Y＝3)＝P(Z＝3)＝， P(Y＝4)＝P(Z＝4)＝， 所以P(Y>Z)＝×＋×＝，所以甲向前跳的步数大于乙向前跳的步数的概率为． ②由①知X的所有可能取值为4，5，6，7，8， 所以P(X＝4)＝，P(X＝5)＝， P(X＝6)＝，P(X＝7)＝，P(X＝8)＝， 随机变量X的分布列为： X 4 5 6 7 8 P E(X)＝4×＋5×＋6×＋7×＋8×＝6． (2)由题意得p1＝，p2＝， 当n≥3时，pn＝pn－1＋pn－2， pn－pn－1＝－(pn－1－pn－2) ＝(pn－2－pn－3)＝… ＝(p2－p1)＝， 所以pn＝＋(n≥3)， 因为p1＝，p2＝， 所以pn＝＋(n∈N*)， 当n为奇数时，<0，pn<； 当n为偶数时，p2＝＋＝>，且数列{pn}为递减数列，所以pn的最大值为． 学科网（北京）股份有限公司 $$