6.2 习题课(二) 组合的综合应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

习题课(二)　组合的综合应用 [学习目标]　1.掌握具有限制条件的排列、组合问题的解决方法． 2.理解排列、组合中的多面手问题、与几何有关的问题、分组分配等问题． 应用一　有限制条件的组合问题 课外活动小组共13人，其中男生8人，女生5人，并且男、女生各有一名队长，现从中选5人主持某项活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)至少有一名队长当选； (2)至多有两名女生当选； (3)既要有队长，又要有女生当选． 解析：(1)至少有一名队长含有两种情况：有一名队长和两名队长，故共有C·C＋C·C＝825(种)．或采用排除法有C－C＝825(种)． (2)至多有两名女生含有三种情况：有两名女生、只有一名女生、没有女生，故共有C·C＋C·C＋C＝966(种)． (3)分两种情况： 第一类：女队长当选，有C种； 第二类：女队长不当选，男队长当选，有C·C＋C·C＋C·C＋C种． 故共有C＋C·C＋C·C＋C·C＋C＝790(种)． [变式探究] (变设问)在本例条件下，至多有1名队长被选上的方法有多少种？ 解析：分两类情况： 第一类：没有队长被选上，从除去两名队长之外的11名学生中选取5人，有C＝462(种)选法． 第二类：一名队长被选上，分女队长被选上和男队长被选上，不同的选法有C＋C＝660(种)选法． 所以至多有1名队长被选上的方法有462＋660＝1 122(种)． 有限制条件的组合问题分类 　　方法技巧 有限制条件的组合问题，主要有两类： 　　一是“含”与“不含”问题，其解法常用直接分步法，即“含”的先取出，“不含”的元素去掉再取，分步计数； 　　二是“至多”“至少”问题，其解法常有两种思路：一是直接分类法，但要注意分类要不重不漏；二是间接法，注意找准对立面，确保不重不漏． 学生用书↓第17页 即时练1.现有10件产品，其中有2件次品，任意抽出3件检查． (1)恰有一件是次品的抽法有多少种？ (2)至少有一件是次品的抽法有多少种？ 解析：(1)从2件次品中任取1件，有C种抽法； 从8件正品中取2件，有C种抽法． 由分步乘法计数原理可知，共有C×C＝56(种)不同的抽法． (2)法一：含1件次品有C×C种抽法； 含2件次品有C×C种抽法． 由分类加法计数原理知，共有 C×C＋C×C＝56＋8＝64(种)不同的抽法． 法二：从10件产品中任取3件有C种抽法， 不含次品有C种抽法， 所以至少有1件次品有C－C＝64(种)抽法． 应用二　多面手问题 某外语组有9人，每人至少会英语和日语中的一门，其中7人会英语，3人会日语，从中选出会英语和日语的各一人到边远地区支教，有多少种不同的选法？ 解析：由题意，知有1人既会英语又会日语，6人只会英语，2人只会日语． 法一：分两类． 第一类：从只会英语的6人中选1人教英语，有6种选法，则教日语的有2＋1＝3(种)选法．此时共有6×3＝18(种)选法． 第二类：从不只会英语的1人中选1人教英语，有1种选法，则选会日语的有2种选法，此时有1×2＝2(种)选法． 所以由分类加法计数原理知，共有18＋2＝20(种)选法． 法二：设既会英语又会日语的人为甲，则甲有入选、不入选两类情形． 第一类：甲入选． ①甲教英语，再从只会日语的2人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×2＝2(种)选法； ②甲教日语，再从只会英语的6人中选1人，由分步乘法计数原理知，有1×6＝6(种)选法． 故甲入选的不同选法共有2＋6＝8(种)． 第二类：甲不入选．可分两步． 第一步，从只会英语的6人中选1人，有6种选法；第二步，从只会日语的2人中选1人，有2种选法．由分步乘法计数原理知，有6×2＝12(种)不同的选法． 综上，共有8＋12＝20(种)不同的选法． 　　方法技巧 　　解决多面手问题时，依据多面手参加的人数和从事的工作进行分类，将问题细化为较小的问题后再处理． 即时练2.现有8名青年，其中有5名能胜任英语翻译工作，有4名能胜任德语翻译工作(其中有1名青年两项工作都能胜任)．现在要从中挑选5名青年承担一项任务，其中3名从事英语翻译工作，2名从事德语翻译工作，则有多少种不同的选法？ 解析：可以分三类： 第一类，让两项工作都能胜任的青年从事英语翻译工作，有CC种选法； 第二类，让两项工作都能胜任的青年从事德语翻译工作，有CC种选法； 第三类，两项工作都能胜任的青年不从事任何工作，有CC种选法． 根据分类加法计数原理，一共有CC＋CC＋CC＝42(种)不同的选法． 应用三　与几何有关的组合应用题 如图，在以AB为直径的半圆周上，有异于A，B的六个点C1，C2，…，C6，线段AB上有异于A，B的四个点D1，D2，D3，D4. (1)以这10个点中的3个点为顶点可作多少个三角形？其中含C1点的有多少个？ (2)以图中的12个点