6.3 培优微课 1 杨辉三角的应用-【金版新学案】2023-2024学年新教材高二数学选择性必修3同步课堂高效讲义教师用书（人教A版）

“杨辉三角”是我国古代数学的瑰宝．利用杨辉三角不仅讨论了二项展开式的一些性质，杨辉三角本身还包含着许多有趣的规律和性质．有力地考查了同学们对数据的整理、分析、概括、处理能力和创新思维能力．现采撷几例，与同学们共同赏析． 1．已知当n＝1，2，3，4，5，6时，(a＋b)n(n∈N*)展开式的二项式系数表示形式如下图， 判断图中λ与μ的值分别是(　　) A.5，9 B.5，10 C.6，10 D.6，9 C　[结合题意可得λ＝3＋3＝6，μ＝4＋6＝10.故选C．] 2．如图所示的三角形数阵中，从第2行开始，每一行除1以外，其他每一个数字是它上一行相邻的左右两个数字之和．已知这个三角形数阵开头几行如图所示，若在此数阵中存在某一行，满足该行中有三个相邻的数字之比为4∶5∶6，则这一行是(　　) A．第96行 B．第97行 C．第98行 D．第99行 C　[三角形数阵中，每一行的数由二项式系数C，k＝0，1，2，…，n组成．如果第n行中有＝＝，＝＝，那么解得因此该行为第98行．故选C．] 3．在杨辉三角中，除每行的两端数字外，每个数字都等于它左上角和右上角两个数字之和，杨辉三角开头几行如图所示． (1)利用杨辉三角展开(1－x)6； (2)在杨辉三角中，哪一行会出现相邻的三个数字的比是3∶4∶5? 解析：(1)根据杨辉三角的规律“每行两端都是1，其余每个数都等于它左上角和右上角两个数字的和”，可写出第6行的二项式系数为1，6，15，20，15，6，1， 所以(a＋b)6＝a6＋6a5b＋15a4b2＋20a3b3＋15a2b4＋6ab5＋b6. 令a＝1，b＝－x，得(1－x)6＝1－6x＋15x2－20x3＋15x4－6x5＋x6. (2)设在第n行出现的三个相邻的数的比是3∶4∶5，并设这三个数分别是C，C，C，则有 所以 所以即 所以 即在第62行会出现相邻的三个数字的比是3∶4∶5. 4．在杨辉三角中，除1以外，其他每一个数字是它上面的两个数字之和，这个三角形数阵开头几行如图所示．已知n，r为正整数，且n≥r＋3.求证：任何四个相邻的组合数C，C，C，C不存在2C＝C＋C，2C＝C＋C. 证明：若有n，r(n≥r＋3)，使得2C＝C＋C，2C＝C＋C， 则＝＋， ＝＋ . 所以＝＋， ＝＋， 化简整理，得n2－(4r＋5)n＋4r(r＋2)＋2＝0， n2－(4r＋9)n＋4(r＋1)(r＋3)＋2＝0. 两式相减，得n＝2r＋3， 于是对于C，C，C，C存在2C＝C＋C，2C＝C＋C. 而由二项式系数的性质可知C＝C＜C＝C，这与上述结论矛盾，从而要证明的结论成立． 学生用书↓第26页 学科网（北京）股份有限公司 $$