辽宁省大连市金州高级中学2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

大连金州高中期中考试试卷 高三数学 考试时间：120分钟，满分：150分 第I卷（60分） 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分．每小题只有一个选项符合题意） 1．已知复数，则（ ） A．5 B． C．10 D． 2．已知集合，，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，则（ ） A． B． C． D．4 4．函数的图像大致为（ ） A． B． C． D． 5．若等差数列的公差为，前项和为，则“”是“为递增数列”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．若函数在具有单调性，则a的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．已知圆：和直线：，点为直线上的动点，过点作圆的切线，切点为，当最小时，直线的方程为（ ） A． B． C． D． 8．已知函数有且只有一个零点，则的值为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多个选项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分） 9．若，则下列关系一定成立的是（ ） A． B． C． D． 10．如图，在方格中，向量，，的始点和终点均为小正方形的顶点，则（ ） （第9题图） A． B． C． D． 11．若函数，则下列结论正确的是（ ） A．是偶函数 B．的最小值为 C．曲线关于直线对称 D．函数在上有3个零点 12．已知和为椭圆：的左顶点和右顶点，点是椭圆上不与和重合的动点，若点与点位于直线异侧，且满足，，则（ ） A．点在椭圆的外部 B．点的轨迹为椭圆 C． D．面积的最大值为 第II卷（非选择题） 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上） 13．点到双曲线的一条渐近线的距离为__________. 14．在等比数列中，，，则__________. 15．设复数，满足，，则__________. 16．已知函数在区间恰有一个极小值点，三个零点，则的取值范围是__________. 四、解答题（本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题满分10分） 已知是等差数列的前n项和，且，， （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前n项和. 18．（本题满分12分） 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且，． （1）求B； （2）若△ABC为锐角三角形，求△ABC面积的取值范围． 19．（本题满分12分） 已知函数，. （1）直接写出曲线与曲线的公共点坐标，并求曲线在公共点处的切线方程； （2）已知直线分别交曲线和于点A，B，当时，设的面积为，其中O是坐标原点，求的最大值. 20．（本题满分12分） 设是数列的前n项和，已知， （1）证明：是等比数列，并求的通项公式； （2）证明：当时，. 21．（本题满分12分） 已知抛物线的顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过，，，四点中的两点. （1）求抛物线的方程； （2）若直线与抛物线交于两点，与抛物线交于两点，在第一象限，在第四象限，且，求的值. 22．（本题满分12分） 已知函数. （1）若对任意的恒成立，求t的取值范围； （2）设且，证明：. 高三数学 第1页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 $$ （高三数学）参考答案 一、单项选择题 1-4 DBAC 5-8 DCAA 二、多项选择题 9．BC 10．BCD 11．ACD 12．AC 三、填空题 13．2 14．8 15． 16． 四、解答题 17．解：（1）设等差数列的公差为d，因为，， 所以，解得，……………………3分 所以，即数列的通项公式为；……………………5分 （2）因为，……………………8分 所以. 所以数列的前n项和.……………………10分 18．解：（1）由题设及正弦定理得，……………………2分 所以，故，……………………4分 因为，所以．……………………6分 （2）由题设及（1）知△ABC的面积． 由正弦定理得．……………………8分 由于△ABC为锐角三角形，故，． 由（1）知，所以，……………………10分 故，从而． 因此，△ABC面积的取值范围是．……………………………12分 19．解：（1）曲线与曲线的公共点坐标为. ………………2分 因为， 所以， ……………