1.3 证明第2课时 三角形内角和定理及推论 课件 2023--2024学年浙教版八年级数学上册

第1章 三角形的初步知识 1.3 证明 第2课时 三角形内角和定理及推论 证明三角形内角和定理，掌握它的推论，并能运用这些定理解决简单的问题； 经历探索与证明的过程，进一步发展推理论证能力； 学习目标 在一题多解、一题多变中，积累解决几何问题的经验，提升解决问题的能力. 我们知道三角形三个内角的和等于180°.你还记得这个结论的探索过程吗？ 命题：三角形的内角和是180°. 探究一 实验1：如下图，先将纸片三角形一角折向其对边，使顶点落在对边上，折线与对边平行（图2），然后把另处两角相向对折，使其顶点与已折角的顶点相嵌合（图2）、（图3），最后得到（图4）所示的结果。 A C B B A C 图2 图1 BA BAC 图3 图4 C 这只是实验得出的结论，不能当作定理，只有经过严格的几何证明，得出命题的正确性，才能作为几何定理，今后，在几何里，常采用这种方法得到新知识. A B C 在证明三角形内角和时，甲同学的想法是把三个角“凑”到A处，他过点A作直线DE//BC（如图），他的想法可行吗？ D E 这里的DE称为辅助线，辅助线通常画成虚线. 验证结论 证明：过点A作DE∥BC， 则∠C＝∠CAE，∠B＝∠BAD（两直线平行，内错角相等）， ∴∠BAC+∠B+∠C ＝∠BAC+∠BAD+∠CAE ＝∠DAE＝180º（平角的定义）. 作辅助线 还有没有其他的添线方法呢？ 实验2： 将纸片三角形顶角剪下，随意将它们拼凑在一起. 3 2 2 这种方法可以通过怎样在原三角形中添线证明？ 2 D B C A 1 E 已知：如图， △ABC. 求证：∠Ａ+∠Ｂ+∠Ｃ＝180° 分析：延长BC到D，过点C作射线CE∥AB，这相当于把∠A移到了∠1的位置，把∠B移到了∠2的位置. 验证结论 证明: 作BC的延长线CD，过点C作射线CE//AB， 则∠1＝∠A（两直线平行，内错角相等）， ∠2＝∠B（两直线平行，同位角相等）， ∵∠1+∠2+∠ACB＝180°, ∴∠Ａ+∠Ｂ+∠ACB＝180°（等量代换）. 作辅助线 三角形内角和定理 三角形的内角和等于180°. 这两种添线依据都是通过平行线的性质，利用内错角或同位角将三角形三个内角转化为一个平角进行证明的，你还有别的方法吗？ B C A 1 E 这样添线的依据是什么？尝试证明. 方法总结 证明几何命题的格式 (1)按题意画出图形； (2)分清命题的条件和结论，结合图形，在“已知”中写出条件，在“求证”中写出结论； (3)在“证明”中写出推理过程． 巩固练习 证明命题“两条平行直线被第三条直线所截，同位角的平分线互相平行”是真命题. 已知：如图，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，EH、FG分别平分∠BEI、∠DFE. 求证：EH∥FG. A B C D E F G H I 1 2 证明：∵直线AB∥CD（已知）， ∴ ∠BEI=∠DFE（两直线平行，同位角相等）， 又∵ EH、FG分别平分∠BEI、∠DFE， ∴∠1= ∠BEI，∠2= ∠DFE（角平分线的定义）， ∴∠1=∠2（等量代换）， ∴EH∥FG（同位角相等，两直线平行）. A B C D E F G H I 1 2 练习1、如图，△ABC中，∠A=60°，∠B∶∠C=1:5，则∠B=___. 分析：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和定理）， ∴ ∠B+∠C=180°-∠A=120°， 又∵ ∠B∶∠C=1:5，∴∠B=20°. B C A 巩固练习 20° 练习2、如图，在△ABC中，∠B=50°， ∠C=60°，点D是BC边上的任意一点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，那么∠EDF=____. 解：在△ABC中， ∠A+∠B+∠C=180°（三角形的内角和定理）， ∴∠A=180°-∠B-∠C =70°， 又∵ DE⊥AB于E，DF⊥AC于F， ∴∠AED=∠DFA=90°，∴ ∠EDF=110°. 110° B A C 1 1 1 A B C 探究二 A B C 观察∠1在各图中的位置，它们有什么共同特征？ 1、∠1的顶点在三角形的一个顶点上； 2、∠1和三角形共用一条边； 3、∠1的另一条边是三角形的某条边的延长线. . . . △ABC内角的一条边与另一条边的反向延长线组成的角，称为△ABC的外角.如右图，∠1是△ABC的∠ABC的外角. ∠1与其他角有什么关系？能证明你的结论吗？ 4 2 3 B C A 1 D 外角的定义 分析：如图，∠1+∠4=180°（平角的定义）， ∠2+∠3+∠4=180°（三角形内角和定理）， ∴∠1=∠2+∠3（等量代换）. 定理 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和. 4 2 3