第十二题 空间几何体的外接球、内切球问题-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第十二题 空间几何体的外接球、内切球问题 高考真题 12. 下列物体中，能够被整体放入棱长为1（单位：m）的正方体容器（容器壁厚度忽略不计）内的有（ ） A. 直径为的球体 B. 所有棱长均为的四面体 C. 底面直径为，高为的圆柱体 D. 底面直径为，高为的圆柱体 知识点总结 空间几何体的外接球 1. 公式法：正方体或长方体的外接球的球心为其体对角线的中点，即，找三条两两垂直的线段，直接用公式(2R)2＝a2＋b2＋c2，即2R＝，求出R. 2. 补形法(补长方体或正方体)： (1) 墙角模型(三条线两两垂直) 题设：三条棱两两垂直； 　　　　 (2) 对棱相等模型(补形为长方体) 题设：在三棱锥(即四面体)中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径(AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD)． 3. 单面定球心法(“定＋算”)： 步骤：(1) 定一个面找外接圆圆心，如图，在三棱锥P－ABC中，选中底面ABC，确定其外接圆圆心O1(正三角形的外心就是中心，直角三角形的外心在斜边中点上，普通三角形用正弦定理定外心，即)； (2) 过外心O1作(找)底面ABC的垂线，如图，作PO1⊥底面ABC，则球心O一定在直线(注意不一定在线段PO1上)PO1上； (3) 计算求半径R，在直线PO1上任取一点O，如图，则OP＝OA＝R，利用公式OA2＝O1A2＋OO可计算出球O的半径R. 4. 双面定球心法(两次单面定球心) 如图，在三棱锥P－ABC中： (1) 选定底面ABC，定△ABC外接圆的圆心O1； (2) 选定平面PAB，定△PAB外接圆的圆心O2； (3) 分别过O1作底面ABC的垂线，过O2作平面PAB的垂线，两垂线交点即为外接球的球心O. 空间几何体的内切球 1. 解决几何体的内切球问题，应先作出一个适当的截面(一般作出多面体的对角面所在的截面)，这个截面应包括几何体与球的主要元素，且能反映出几何体与球的位置关系和数量关系． 2. 球的内切问题(等体积法)．例如：如图，在四棱锥P－ABCD中，内切球为球O，求球O的半径r. 方法如下：VP－ABCD＝VO－ABCD＋VO－PBC＋VO－PCD＋VO－PAD＋VO－PAB， 即VP－ABCD＝S四边形ABCD·r＋S△PBC·r＋S△PCD·r＋S△PAD·r＋S△PAB·r. 3. 正多面体内切球的球心与其外接球的球心重合，内切球的半径为球心到多面体任一面的距离． 4. 正棱锥的内切球与外接球的球心都在其高线上，但不一定重合. 题型展示 能还原成长方体的锥体的外接球 (1) 在三棱锥A－BCD中，侧棱AB，AC，AD两两垂直，若△ABC，△ACD，△ADB的面积分别为，，，则三棱锥A－BCD的外接球的体积为(　 　) A. π B. 2π C. 3π D. 4π (2) 在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．若三棱锥P－ABC为鳖臑，PA⊥平面ABC，PA＝AB＝2，AC＝4，三棱锥P－ABC的四个顶点都在球O的球面上，则球O的表面积为(　C　) A. 8π B. 12π C. 20π D. 24π 一般锥体的外接球 (1) 已知正四棱锥P－ABCD的所有顶点都在球O的球面上，PA＝AB＝2，那么球O的表面积为(　 　) A. 2π　 B. 4π　 C. 8π　 D. 16π (2) 已知P，A，B，C，D是球O的球面上的五个点，四边形ABCD为梯形，AD∥BC，AB＝DC＝AD＝2，BC＝PA＝4，PA⊥平面ABCD，那么球O的体积为(　 ) A. B. C. 16π D. 16π 棱柱的外接球 设直三棱柱ABC－A1B1C1的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是40π，AB＝AC＝AA1，∠BAC＝120°，则此直三棱柱的高是　 　. 柱体与其内切球 如图，在棱长为1的正方体内有两个球相外切且又分别与正方体内切． (1) 求两球半径之和； (2) 当两球的半径分别为多少时，两球体积之和最小？ 锥体与其内切球 (2022·连云港预测)在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD是矩形，侧面PAB是等边三角形，侧面PAB⊥底面ABCD，AB＝2，若四棱锥P－ABCD存在内切球，则内切球的体积为　 　，此时四棱锥P－ABCD的体积为 　. 真题演练 一、单选题 1．已知正三棱台的高为1，上、下底面边长分别为和，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为（    ） A． B． C． D． 2．已知球O的半径为1，四棱锥的顶点为O，底面的四个顶点均在球O的球面上，则当该四棱锥的体积最大时，其高为（    ） A． B． C． D． 3．已知A，B，C是半径为1的球O的球面上的三个点，且，则三棱锥的体积为（    ）