第十一题 函数的极值与最值问题-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第十一题 函数的性质 高考真题 11. 已知函数的定义域为，，则（ ）． A. B. C. 是偶函数 D. 为的极小值点 知识点总结 1. 函数的极值 (1) 设函数f(x)在点x0附近有定义，如果对x0附近的所有的点，都有f(x)　 ，那么f(x0)是函数f(x)的一个极大值，记作y极大值＝f(x0)，x0为f(x)的　 　；如果对x0附近的所有的点，都有f(x)　 　f(x0)，那么f(x0)是函数f(x)的一个极小值，记作y极小值＝f(x0)，x0为f(x)的　 　.极小值点与极大值点统称为　 　，极大值与极小值统称为极值． (2) 当函数f(x)在x0处连续时，判别f(x0)是极大(小)值的方法： 如果x<x0有f′(x)　 　0，x>x0有f′(x)__ __0，那么f(x0)是极大值． 如果x<x0有f′(x)　 　0，x>x0有f′(x)__ __0，那么f(x0)是极小值． 2. 求可导函数f(x)极值的步骤 (1) 　 　； (2) 　 　； (3) 检验f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的值的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y＝f(x)在这个根处取得　 　；如果在根的左侧附近为负，右侧附近为正，那么函数y＝f(x)在这个根处取得　 　. 3. 函数的最值的概念 设函数y＝f(x)在　 　上连续，在 _内可导，函数f(x)在[a，b]上一切函数值中的最大(最小)值，叫做函数y＝f(x)的最大(最小)值． 4. 求函数最值的步骤 设函数y＝f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，求f(x)在[a，b]上的最值，可分两步进行： (1) 求f(x)在(a，b)内的极值； (2) 将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 5. 常用结论 (1) 极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间[a，b]的整体而言； (2) 在函数的定义区间[a，b]内，极大(小)值可能有多个(或者没有)，但最大(小)值只有一个(或者没有)； (3) 函数f(x)的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； (4) 对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得． 题型展示 求函数的极值 已知函数f(x)＝x2－1－2alnx(a≠0)，求函数f(x)的极值． 根据极值求参数 (1) 已知函数f(x)＝(ax2＋x＋a)e－x(a∈R)．若a≥0，函数f(x)的极大值为，则实数a的值为　 . (2) (2022·福州质检)已知函数f(x)＝a＋lnx在x＝1处取得极值，则实数a＝　 　. 1. 已知函数极值，确定函数解析式中的参数时，要注意：根据极值点的导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解． 2. 导数值为0不是此点为极值点的充要条件，所以用待定系数法求解后必须检验． 求函数的最值 (1)已知函数f(x)＝ex＋cosx－2，f′(x)为f(x)的导数．当x≥0时，求f′(x)和f(x)的最小值． (2)(人A选必二P104复习参考题14)用总长14.8m的钢条制作一个长方体容器的框架，若制作的容器的底面的一边比另一边长0.5m，那么当高为多少时，容器的容积最大？并求出它的最大容积？ 真题演练 一、单选题 1．函数在区间的最小值、最大值分别为（    ） A． B． C． D． 2．设，若为函数的极大值点，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的定义域为，导函数在内的图像如图所示，则函数在内极小值点的个数是（    ）      A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．已知a为常数，函数f（x）=x（lnx﹣ax）有两个极值点x1，x2（x1＜x2）（　　） A． B． C． D． 5．函数在闭区间上的最大值、最小值分别是（    ） A． B． C． D． 6．设函数的定义域为R，是的极大值点，以下结论 一定正确的是 A． B．是的极小值点 C．是的极小值点 D．是的极小值点 7．设函数满足则时， A．有极大值，无极小值 B．有极小值，无极大值 C．既有极大值又有极小值 D．既无极大值也无极小值 8．设函数f（x）=+lnx ，则 （ ） A．x=为f(x)的极大值点 B．x=为f(x)的极小值点 C．x=2为 f(x)的极大值点 D．x=2为 f(x)的极小值点 9．设，若函数，，有大于零的极值点，则（ ） A． B． C． D． 10．如果圆柱的轴截面周