第十四题 空间几何体的表面积与体积-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第十四题 空间几何体的表面积与体积 高考真题 14. 在正四棱台中，，则该棱台的体积为________． 知识点总结 1. 空间几何体的结构特征 (1) 多面体的结构特征 (2) 旋转体的结构特征 几何体 旋转图形 旋转轴 圆柱 矩形 　 　所在的直线 圆锥 直角三角形 　 　所在的直线 圆台 直角梯形 　 　所在的直线 球 半圆 　 　所在的直线 2. 圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式 圆柱 圆锥 圆台 侧面展开图 侧面积公式 S圆柱侧＝　 　 S圆锥侧＝　 　 S圆台侧＝ 3. 柱、锥、台、球的表面积和体积 名称 几何体 表面积 体积 柱体(棱柱和圆柱) S表面积＝S侧＋2S底 V＝　 　 锥体(棱锥和圆锥) S表面积＝S侧＋S底 V＝ 　 台体(棱台和圆台) S表面积＝S侧＋S上＋S下 V＝ 球 S＝　 　 V＝　 　 4. 常用结论 (1) 正方体与球的切、接常用结论：设正方体的棱长为a，球的半径为R，若球为正方体的外接球，则2R＝a；若球为正方体的内切球，则2R＝a；若球与正方体的各棱相切，则2R＝a. (2) 设长方体的共顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝. (3) 正四面体的外接球的半径R＝a，内切球的半径r＝a(a为该正四面体的棱长)． 题型展示 空间几何体的表面积 木升子是一种民间称量或盛装粮食的工具(如图所示)，呈正棱台形，一般由四块梯形木和一块正方形木组成，其上口是一个正方形，下面是一个封口较小的正方形．现有一木升子(厚度忽略不计)，其上口周长为52cm，下口周长为40cm，侧面等腰梯形腰长为8cm，则该木升子的侧面积约为(结果精确到0.1cm2，参考数据：≈15.72) (　 　) A. 90.4cm2 B. 180.8cm2 C. 361.6cm2 D. 368.0cm2 空间几何体表面积的求法： (1) 多面体：其表面积是各个面的面积之和； (2) 旋转体：其表面积等于侧面面积与底面面积的和； (3) 简单组合体：应搞清各构成部分，并注意重合部分的删、补． 空间几何体的体积 (2022·武汉调研)某圆锥的体积为1，用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥得到一个圆台，若圆台上底面和下底面的半径之比为，则该圆台的体积为(　 　) A. B. C. D. (1) 若所给定的几何体为可直接用公式求解的柱体、锥体或台体，则可直接利用公式进行求解； (2) 若所给定的几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用转换法、分割法、补形法等方法进行求解． 空间几何体的侧面展开问题 如图，在圆锥SO中，已知底面半径r＝1，母线长l＝4，M为母线SA上的一点，且SM＝x，从点M拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A. (1) 求绳子的最短长度的平方f(x)； (2) 当绳子最短时，求顶点到绳子的距离； (3) 求f(x)的最大值． 空间几何体表面上距离的最小问题的解题思路是将空间几何体的侧面展开，把立体几何问题转化为平面几何问题，然后利用平面几何知识去解决． 空间几何体的外接球和内切球的表面积与体积 (1) (2022·新高考Ⅱ卷)已知正三棱台的高为1，上、下底面的边长分别为3和4，其顶点都在同一球面上，则该球的表面积为( 　) A. 100π B. 128π C. 144π D. 192π (2) 若圆锥的底面半径为1，母线长为3，则该圆锥内半径最大的球的体积为 　. 多面体与球的切、接问题的求解方法： (1) 涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题求解． (2) 若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，根据4R2＝a2＋b2＋c2求解． (3) 正方体的内切球的直径为正方体的棱长． (4) 正方体的外接球的直径为正方体的体对角线长． (5) 利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． 真题演练 一、单选题 1．在三棱锥中，是边长为2的等边三角形，，则该棱锥的体积为（    ） A．1 B． C．2 D．3 2．已知圆锥PO的底面半径为，O为底面圆心，PA，PB为圆锥的母线，，若的面积等于，则该圆锥的体积为（