第十三题 计数原理-备战2024年高考数学真题逐题剖析+模拟专练（新高考Ⅰ卷专用）

第十三题 计数原理 高考真题 13. 某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有________种（用数字作答）． 知识点总结 1. 两个计数原理的区别与联系 分类加法计数原理 分步乘法计数原理 相同点 用来计算完成一件事的方法种数 不同点 分类、相加 分步、相乘 每类方案中的每一种方法都能独立完成这件事 每步依次完成才算完成这件事情(每步中的每一种方法不能独立完成这件事) 注意点 类类独立，不重不漏 步步相依，缺一不可 2. 排列与组合的概念 名称 定义 排列 从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素 按照　 　排成一列 组合 作为一组 3. 排列数与组合数 (1) 排列数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　 　的个数，用符号　 　表示． (2) 组合数：从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有　 　的个数，用符号　 　表示． 4. 排列数、组合数的公式及性质 公式 (1) A＝　 　＝(n，m∈N*，且m≤n)． (2) C＝＝ ＝(n，m∈N*，且m≤n)．特别地C＝1 性质 (1) 0！＝　 　；A＝　 　. (2) C＝C；C＝　 　 5. 二项式定理 二项式定理 (a＋b)n＝　 　(n∈N*) 二项展开式的通项公式 Tk＋1＝　 　，它表示第　 　项 二项式系数 展开式中各项的二项式系数为C(k∈{0,1,2，…，n}) 6. 二项式系数的性质 (1) C＝1，C＝1，C＝　 ， C＝　 　(0≤m≤n)． (2) 二项式系数先增后减中间项最大． 当n为偶数时，第＋1项的二项式系数最大，最大值为C，当n为奇数时，第项和第项的二项式系数最大，最大值为C和C. (3) 各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝　 　，C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝　 . 题型展示 两个计数原理的应用 (2022·福州模拟)将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为ai(i＝1,2,3,4,5,6)，若a1≠1，a3≠3，a5≠5，且a1<a3<a5，则不同的排列方法种数为(　 　) A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 思路：(1) 弄清完成一件事是做什么；(2) 确定是先分类后分步，还是先分步后分类；(3) 弄清分步、分类的标准是什么；(4) 利用两个计数原理求解． 隔板法 泉州洛阳桥，原名万安桥，桥长834米，宽7米，46个桥墩，47个桥孔，全都是由花岗岩筑成，素有“海内第一桥”之誉，是古代著名跨海梁式石构桥．北宋泉州太守蔡襄(今莆田市仙游县人，北宋名臣，书法家、文学家、茶学家)与卢锡共同主持历经七年建成，至今已有九百多年历史．现有一场划船比赛，选取相邻的12个桥孔作为比赛道口，有4艘参赛船将从一字排开的12个桥孔划过，若为安全起见，相邻两艘船都必须至少留有1个空桥孔间隔划过，12个桥孔头尾两侧桥孔也不过船，所有的船都必须从不同的桥孔划过，每个桥孔都只允许1艘船划过，则4艘船通过桥孔的不同方法共有　 　种． 对于相同元素的分配问题，可以利用分类计数原理分类讨论，还可以利用“隔板法”． 把n个相同的小球放到m(m<n)个不同盒子中，不同放法的种数的求解方法是： (1) 若每个盒子至少放一球，则只需在n个小球的n－1个间隙中放置m－1块隔板把它隔成m份即可，共有C种不同放法．此类型问题等价于“将n个相同元素分成m(m≤n)组，每组至少一个的分组问题”：可把n个元素排成一排，从n－1个空中选m－1个空，各插一个隔板，有C种分法． (2) 若允许某些盒子不放球，则相当于在n＋m－1个位置中选放m－1块隔板，共有C种不同放法． 捆绑法与插空法 (1) (2022·广州质检)某夜市的某排摊位上共有6个铺位，现有4家小吃类店铺，2家饮料类店铺打算入驻，若要排出一个摊位规划，要求饮料类店铺不能相邻，则可以排出的摊位规划总个数为(　 　) A. AA B. AA C. AA D. AA (2) (2022·武汉模拟)A，B，C，D，E，F六人站成一排，满足A，B相邻，C，D不相邻，E不站两端的不同站法的种数为(　 　) A. 48 B. 96 C. 144 D. 288 相邻、相间问题的解题策略： (1)