黑龙江省龙西北名校联合体2023-2024学年高三上学期期中考试数学试题

2023-2024学年度上学期龙西北名校联合体期中考试 高三数学试题 本试卷共2页，满分150分，考试用时120分钟． 一、单选题（8小题，共40分） 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 若是关于的实系数方程的一个复数根，则（ ） A. ， B. ， C ， D. ， 3. 圆锥的母线长是2，侧面积是，则该圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 2 4. 已知有7件产品，其中4件正品，3件次品，每次从中随机取出1件产品，抽出的产品不再放回，那么在第一次取得次品的条件下，第二次取得正品的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知点在直线上移动，当取得最小值时，过点 引圆的切线，则此切线段的长度为 A. B. C. D. 6. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 意大利数学家列昂纳多·斐波那契是第一个研究了印度和阿拉伯数学理论的欧洲人，斐波那契数列被誉为是最美的数列，斐波那契数列满足，，.若将数列的每一项按照下图方法放进格子里，每一小格子的边长为1，记前n项所占的格子的面积之和为，每段螺旋线与其所在的正方形所围成的扇形面积为，则其中不正确结论的是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（4小题，共20分） 9. 下列说法正确的有（ ） A. 命题“”的否定为“” B. 函数的值域为 C. 若幂函数在区间上是减函数，则 D. 若随机变量的方差，则 10. 已知函数在上单调递减，且.若将的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，则下列各选项正确的是（ ） A. B. 为偶函数 C. 的图象关于点对称 D. 在区间上单调递减 11. “奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（ ） A. 若，则M为的重心 B. 若M为的内心，则 C. 若，，M为的外心，则 D. 若M为的垂心，，则 12. 函数与之间的关系非常密切，号称函数中的双子座，以下说法正确的是( ) A. 最大值与的最大值相等 B. C. D. 若，则的最小值为 三、填空题（4小题，共20分） 13. 已知，且，则在上的投影向量为__________． 14. 若点O和点F分别为椭圆的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则的最小值为_________ 15. 已知数列满足 且数列是单调递增数列，则取值范围是_________. 16. 若函数的定义域为，且，则______． 四、解答题（第17题10分，第18题12分，第19题12分，第20题12分，第21题12分，第22题12分，共6小题70分） 17. 已知函数，． （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论的单调性． 18. 记的内角的对边分别为，已知. （1）求； （2）若是上一点，为角的平分线，求． 19. 设函数，其中a常数． Ⅰ当，求a的值； Ⅱ当时，关于x的不等式恒成立，求a的取值范围． 20. 在隧道施工过程中，若隧道拱顶下沉速率过快，无法保证工程施工的安全性，则需及时调整支护参数．某施工队对正在施工的福州象山隧道工程进行下沉量监控，通过对监控结果进行回归分析，建立前t天隧道拱顶的累加总下沉量z（单位：毫米）与时间t（单位：天）的回归方程，通过回归方程预测是否需要调整支护参数．已知该隧道拱顶下沉的实测数据如表所示： t（单位：天） 1 2 3 4 5 6 7 z（单位：毫米） 0.01 0.04 0.14 0.52 1.38 2.31 4.30 研究人员制作相应散点图，通过观察，拟用函数进行拟合．令，计算得：，． （1）试建立z与t的回归方程，并预测前8天该隧道拱顶的累加总下沉量；（精确到0.1） （2）已知当拱顶在某个时刻下沉的瞬时速率超过27毫米/天时，支护系统将超负荷，隧道有塌方风险，施工队需要提前一天调整支护参数、试估计最迟在第几天调整支护参数？（精确到整数） 附：①回归直线中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：； ②参考数据：． 21. 已知数列中，，. （1）求证：是等比数列，并求的通项公式； （2）数列满足，数列的前n项和为，若不等式对一切恒成立，求的取值范围. 22. 设函数，. （1）证明：. （2）若恒成立，求的取值范围； （3）证明：当时，. 2023-2024学年度上学期龙西北名校联合体期中考试 高三数学