2.4 线段的垂直平分线课件2023-2024学年湘教版数学八年级上册

2.4 线段的垂直平分线 第2章 三角形 第1课时 线段垂直平分线的性质和判定 湘教版数学八年级上册 优翼数学教学课件(XJ)八上 某区政府为了方便居民的生活,计划在三个住宅小区 A、B、C 之间修建一个购物中心,试问该购物中心应建于何处,才能使得它到三个小区的距离相等? A B C 导入新课 观察: 已知点 A 与点 A′ 关于直线 l 对称,如果将线段 AA′ 沿直线 l 折叠,那么点 A 与点 A′ 重合,AD = A′D,∠1 =∠2 = 90 ,即直线 l 既平分线段 AA′,又垂直于线段 AA′. l A A′ D 2 1 (A) 线段垂直平分线的性质 新课讲授 我们把垂直且平分一条线段的直线叫作这条线段的垂直平分线. 由上可知:线段是轴对称图形,线段的垂直平分线是它的对称轴. 知识要点 如图,直线 l 垂直平分线段 AB,P1,P2,P3,…是 l 上的点,请你量一量线段 P1A,P1B,P2A,P2B,P3A,P3B 的长,你能发现什么?请猜想点 P1,P2,P3,… 到点 A 与点 B 的距离之间的数量关系. A B l P1 P2 P3 探究发现 P1A _P1B P2A _ P2B P3A _ P3B = = = 将 ABC 沿直线 l 对折,由于 l 是线段 AB 的垂直平分线,因此点 A 与点 B 重合. 从而线段 PA 与线段 PB 重合,于是 PA = PB. (A) (B) B A P l 活动探究 线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等. 线段垂直平分线的性质定理: 总结归纳 例1 如图,在 ABC 中,AB=AC=20 cm,DE 垂直平分 AB,垂足为 E,交 AC 于 D,若 DBC 的周长为 35 cm,则 BC 的长为 ( ) A.5 cm B.10 cm C.15 cm D.17.5 cm 典例精析 C A B C D E 解析:∵ DE 垂直平分 AB,∴ AD=BD. 又∵ DBC 的周长为 BC+BD+DC = 35 cm, ∴ BC+AD+DC= 35 cm. ∵ AC=AD+DC=20 cm, ∴ BC=35-20=15 (cm). 故选 C. 方法归纳:利用线段垂直平分线的性质,实现线段之间的转化,从而求出未知线段的长. A B C D E 练一练:1. 如图①所示,直线 CD 是线段 AB 的垂直平分线,点 P 为直线 CD 上的一点,且 PA = 5,则线段 PB 的长为 ( ) A. 6 B. 5 C. 4 D. 3 2. 如图②所示,在 ABC 中,BC = 8 cm,边 AB 的垂直平分线交 AB 于点 D,交边 AC 于点 E, BCE 的周长等于 18 cm,则 AC 的长是 . B 10 cm P A B C D 图① A B C D E 图② 问题引入 想一想:如果 PA = PB,那么点 P 是否在线段 AB 的垂直平分线上呢? 记得要分点 P 在线段 AB 上及线段 AB 外两种情况来讨论 线段垂直平分线的判定 (1) 当点 P 在线段 AB 上时, ∵ PA = PB, ∴ 点 P 为线段 AB 的中点. ∴ 此时点 P 在线段 AB 的垂直平分线上. (2) 当点 P 在线段 AB 外时,如右图所示. ∵ PA = PB, ∴ PAB 是等腰三角形. 过顶点 P 作 PC ⊥ AB,垂足为点 C, 则底边 AB 上的高 PC 也是底边 AB 上的中线. 即 PC⊥AB,且 AC = BC. ∴ 直线 PC 是线段 AB 的垂直平分线, 此时点 P 也在线段 AB 的垂直平分线上. 到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上. 线段垂直平分线的性质定理的逆定理: 应用格式: ∵ PA = PB, ∴ 点 P 在 AB 的垂直平分线上. P A B 作用:判断一个点是否在线段的垂直平分线上. 总结归纳 例2 已知:如图,在 ABC 中,AB,BC 的垂直平分线相交于点 O,连接 OA,OB,OC. 求证:点 O 在 AC 的垂直平分线上. 证明:∵ 点 O 在线段 AB 的垂直平分线上, ∴ OA = OB. 同理 OB = OC. ∴ OA = OC. ∴ 点 O 在 AC 的垂直平分线上. 结论:三角形三边垂直平分线交于一点,这一点到三角形三个顶点的距离相等. 现在你能想到方法确定导入里购物中心的位置,使它到三个小区的距离相等吗? 1. 如图所示,AC = AD,BC = BD,则下列说法正确的 是( ) A. AB 垂直平分 CD B. CD 垂直平分 AB C. AB 与 CD 互相垂直平分 D. CD 平分∠ACB A B C D A 当堂练习 2. 在锐角三角形 ABC 内一点 P,满足 PA = PB = PC,则点 P 是 AB